Derivada de x^3 (x al cubo)

Para calcular la derivada de la función f(x) = x^3, podemos utilizar la regla de potencias. A continuación, te mostraré los pasos para calcular la derivada paso a paso:

Paso 1: Escribir la función:

    \[f(x) = x^3\]

Paso 2: Aplicar la regla de potencias. Para una función de la forma f(x) = x^n, la derivada es f'(x) = n \cdot x^{n-1}. En este caso, n = 3, por lo que la derivada será:

    \[f'(x) = 3 \cdot x^{3-1}\]

Paso 3: Simplificar la expresión:

    \[f'(x) = 3 \cdot x^2\]

Paso 4: Escribir la derivada:

    \[f'(x) = 3x^2\]

¡Y eso es todo! La derivada de f(x) = x^3 es f'(x) = 3x^2.

Derivada de x^3 mediante la definición de derivada como límite

Para calcular la derivada de x^3 usando la definición de derivada como un límite, sigue estos pasos:

Paso 1: Escribe la definición de la derivada como un límite:

    \[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]

Paso 2: Sustituye f(x) = x^3 en la fórmula:

    \[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{(x + h)^3 - x^3}{h}\]

Paso 3: Expande (x + h)^3:

    \[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}{h}\]

Paso 4: Simplifica la expresión:

    \[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h}\]

Paso 5: Factoriza h en el numerador:

    \[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h}\]

Paso 6: Cancela h en el numerador y el denominador:

    \[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} (3x^2 + 3xh + h^2)\]

Paso 7: Evalúa el límite cuando h \to 0:

    \[f'(x) = 3x^2\]

Por lo tanto, la derivada de x^3 usando la definición de derivada como un límite es f'(x) = 3x^2.

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