Cálculo diferencial

El cálculo diferencial es una rama fascinante de las matemáticas que ha desempeñado un papel crucial en la comprensión y descripción de una amplia gama de fenómenos en la ciencia, la ingeniería y más allá. En este artículo, nos embarcaremos en un viaje para explorar los conceptos fundamentales del cálculo diferencial, desde las derivadas hasta sus aplicaciones en el mundo real.

¿Qué es el cálculo diferencial?

El cálculo diferencial es una rama de las matemáticas que se centra en el estudio de las tasas de cambio y cómo las funciones varían de manera instantánea en puntos específicos. Su enfoque principal es el concepto de derivada, que proporciona una medida precisa de la velocidad con la que una cantidad cambia en relación con otra.

En términos más simples, el cálculo diferencial nos permite comprender cómo se comportan las funciones cuando se analiza su cambio infinitesimal en una variable. Se convierte en una herramienta invaluable en la modelización y resolución de problemas del mundo real, desde la física y la economía hasta la biología.

La derivada, elemento fundamental del cálculo diferencial, nos ofrece una perspectiva instantánea sobre cómo evoluciona una función en un punto específico. Además, la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de una recta tangente a una curva refleja la conexión profunda entre el cálculo y la geometría.

Concepto de derivada

Se entiende por derivada de una función, a la razón del cambio instantánea con la cual varía el valor de dicha función de acuerdo al valor de su variable independiente, por ende, se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

La derivada de una función desde el punto de vista de la geometría, no es mas que la pendiente de la recta tangente de la función f(x), por tanto se le define tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.

Por definición se dice, que la derivada de una función y=f(x) con respecto a «x» en un punto (a) es:

    \[\displaystyle \lim_{\Delta _{x} \to 0}\frac{f(a+\Delta _{a})-f(a)}{\Delta _{x}}\]

siempre que exista.

Expresado de otra forma, la derivada de una función, es el límite que hay entre el incremento de la variable dependiente y el incremento de la variable independiente cuando tiende a cero.

La derivada de y=f(x) con respecto a «x» puede denotarse de varias formas:

d/dx y  ;    dy/dx  ;     y´  ;       f´(x)   ;      d/dx f(x)

Temas de cálculo diferencial

Límites:

Derivadas

Para qué sirve el cálculo diferencial

Con la aplicación del cálculo diferencial se puede determinar la cantidad de dinero que generaría una inversión, definir la velocidad que tiene un cuerpo u objeto en movimiento incluyendo el movimiento de los planetas, el área de un terreno u objeto de interés como una caja, proyecciones de crecimiento  poblacional o propagación de un virus, asi como infinidad de fenómenos naturales que implique cambios en las variables de comportamiento.

Optimización

Una de las aplicaciones más poderosas del cálculo diferencial es la optimización. Imagina que tienes una función que describe la altura de un proyectil en función del tiempo, y deseas encontrar el tiempo en el que el proyectil alcanza su altura máxima. Utilizando la derivada y estableciendo f'(t) = 0, puedes encontrar el tiempo crítico que maximiza la función.

Física y Movimiento

El cálculo diferencial es esencial en la descripción del movimiento. La posición de un objeto en función del tiempo se describe mediante la derivada de su posición con respecto al tiempo, conocida como velocidad. La segunda derivada de la posición con respecto al tiempo es la aceleración. Estas relaciones son cruciales en la física para entender cómo los objetos se mueven y cambian de velocidad.

Economía y Finanzas

En economía, las derivadas modelan tasas de cambio. Por ejemplo, la derivada de una función de ingresos con respecto a la cantidad producida puede dar lugar a la función de ingresos marginales. En finanzas, las derivadas se utilizan para calcular tasas de retorno y evaluar riesgos en instrumentos financieros complejos.

Historia del cálculo diferencial

El origen del cálculo diferencial se remonta a la antigua Grecia específicamente al siglo III A.C., al generase la problemática de calcular la tangente de una curva de Apolonio de Perge, siendo resuelto en el siglo XVII por los trabajos de Isaac Newron y Gottfried Wilhelm, convirtiéndose en los padres del calculo infinitesimal.

Incremento y diferencial.

En el estudio de la derivada nos encontramos con dos términos de interés, como lo son el incremento y el diferencial.  El primero se refiere cuando la función adquiere valor su variable y pasa de un valor inicial a otro valor, calculando el incremento al restar dichos valores denotándose con el símbolo ∆x. A pesar que el termino se le llama incremento su valor puede ser positivo o negativo, todo dependiendo del comportamiento de la función ante los valores que asume.

En cuanto al diferencial, no es mas que un objeto matemático, es decir, representa la parte del cambio de valor de la función, acotando que el diferencial refleja un punto determinado asociado al incremento de la ordenada de la tangente en función a la variable independiente. El diferencial se denota como df ó dy.