La matemática es un área muy amplia, es por ello que se divide en varias áreas entre la que se encuentra el cálculo, destinada a la resolución o determinación de variables de una ecuación, permitiendo estudiar su comportamiento, determinar la pendiente, valores mínimos y máximos, conocer el área o volumen.
El calculo es muy útil en el desarrollo científico y tecnológico, de uso obligatorio en la economía, la física, la ingeniería y la química.
Es de acotar que el cálculo dado sus diferentes aplicaciones o uso tiene otras divisiones entre la que se encuentra el calculo diferencial, que en esta oportunidad desarrollaremos para la mejor comprensión de su importancia y uso en la matemática.
Contenido
Qué es el cálculo diferencial
El cálculo diferencial es la rama del cálculo, asociada al cálculo infinitesimal y el análisis matemático, que permite el estudio de las funciones continuas a partir del uso las derivadas.
Temas de cálculo diferencial
- Interpretación geométrica de la derivada
- Derivada de una constante
- Derivada de x
- Derivada de una suma o resta
- Derivada de una constante por una función
- Derivada del seno
- Derivada del coseno
- Derivada de un producto
- Derivada de un cociente
- Derivada de una potencia
- Derivadas algebraicas
- Regla de la cadena
- Derivada de una raíz
- Derivadas de funciones logarítmicas
- Derivadas de funciones exponenciales
- Derivada de funciones trigonométricas
- Derivada de la tangente
- Derivada de la cosecante
- Derivada de la secante
- Derivada de la cotangente
- Derivada de funciones trigonométricas inversas
- Derivada del arcoseno
- Derivada del arcocoseno
- Derivada de la arcotangente
- Derivadas implícitas
- Derivadas de orden superior
- Derivadas parciales
- Ejercicios de derivadas
- Aplicaciones de las derivadas
- Máximos y mínimos de una función
- Teorema de Rolle
Historia del cálculo diferencial
El origen del cálculo diferencial se remonta a la antigua Grecia específicamente al siglo III A.C., al generase la problemática de calcular la tangente de una curva de Apolonio de Perge, siendo resuelto en el siglo XVII por los trabajos de Isaac Newron y Gottfried Wilhelm, convirtiéndose en los padres del calculo infinitesimal.
Para qué sirve el cálculo diferencial
Concepto de derivada
Se entiende por derivada de una función, a la razón del cambio instantánea con la cual varía el valor de dicha función de acuerdo al valor de su variable independiente, por ende, se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.
La derivada de una función desde el punto de vista de la geometría, no es mas que la pendiente de la recta tangente de la función f(x), por tanto se le define tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.
Por definición se dice, que la derivada de una función Y=f(x) con respecto ha X en un punto (a) es:
![\[\displaystyle \lim_{\Delta _{x} \to 0}\frac{f(a+\Delta _{a})-f(a)}{\Delta _{x}}\]](https://calculodiferencial.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-092779587085ef7cc83bbe2b2bd632bd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
siempre que exista.
Expresado de otra forma, la derivada de una función, es el límite que hay entre el incremento de la variable dependiente y el incremento de la variable independiente cuando tiende a cero.
La derivada de Y=f(x) con respecto a X puede denotarse de varias formas:
d/dx y ; dy/dx ; y´ ; f´(x) ; d/dx f(x)
Incremento y diferencial.
En el estudio de la derivada nos encontramos con dos términos de interés, como lo son el incremento y el diferencial. El primero se refiere cuando la función adquiere valor su variable y pasa de un valor inicial a otro valor, calculando el incremento al restar dichos valores denotándose con el símbolo ∆x. A pesar que el termino se le llama incremento su valor puede ser positivo o negativo, todo dependiendo del comportamiento de la función ante los valores que asume.
En cuanto al diferencial, no es mas que un objeto matemático, es decir, representa la parte del cambio de valor de la función, acotando que el diferencial refleja un punto determinado asociado al incremento de la ordenada de la tangente en función a la variable independiente. El diferencial se denota como df ó dy.