Derivadas trigonométricas. - Calculodiferencial.com

Entre las diferentes funciones que estudiamos en matemáticas, se encuentran las trigonométricas, las cuales se definen como el cociente entre dos lados de un triangulo rectángulo relacionados a sus ángulos.

Las reglas de derivadas también se pueden aplicar para funciones trigonométricas, es por ello que nos dedicaremos a la resolución de algunos ejercicios.

Derivadas trigonométricas

Se habla de derivada trigonométrica, al cambio que sufre una función trigonométrica respecto a la variable independiente.

Existen seis funciones trigonométricas básicas, seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, donde para cada una existe una regla de derivación.

Reglas para las derivadas trigonométricas

Te presentamos una serie de reglas ya reflejadas en el formulario de derivas, que facilitará la resolución de los mismo.

1.- Derivada del seno

$Sen(x)'= Cos(x).x'$

2.- Derivada del coseno

$Cos(x)'= -Sen(x).x'$

3.- Derivada de la tangente

$Tag(x)'= Sec^{2}(x).x'$

4.- Derivada de secante

$Sec(x)'=Sec(x).Tag{x}.x'$

5.- Derivada de la cosecante

$Csc(x)'=-Csc(x).Cot{x}.x'$

Ejercicios de derivadas trigonométricas

Conociendo estas reglas, vamos a resolver algunas derivadas en funciones trigonométricas:

Ejercicio 1.

$f(x)=Sen(2x)$

Solución

$f(x)'=Cos(2x).(2x)'$

en el caso de (2x)’ se aplica la regla vista en derivadas algebraicas referente al producto, recordando que la derivada de una constante es cero y la derivada de X es 1

$=Cos(2x).(2x'+2'x)$

$=Cos(2x).(2+0)$

$=2Cos(2x)$

Ejercicio 2.

$f(x)=Sen(x).Cos(x^{2})$

Solución

Para la resolución aplicamos la regla de derivada de un producto;

$f(x)'=Sen(x)'.Cos(x^{2})+Sen(x).Cos(x^{2})'$

seguidamente aplicamos las derivadas trigonométricas según el caso

$=Cos(x).Cos(x^{2})+Sen(x).(-Sen(x^{2}).x^{2}')$

$=Cos(x).Cos(x^{2})-Sen(x).Sen(x^{2}).(2x)$

$=Cos(x).Cos(x^{2})-2x.Sen(x).Sen(x^{2})$

Ejercicio 3.

$f(x)=Tag(x).Cos(x)$

Solución

Para resolver esta derivada podemos iniciar aplicando la regla del producto, también podemos aplicar la identidad de la tangente para simplificar. Consideraremos la segunda opción donde;

Tag(x)=Sen(x)/Cos(x)

sustituimos y simplificamos

$=\frac{Sen(x)}{Cos(x)}.Cos(x)$

simplificamos Cos(x)

$=Sen(x)$

se procede a derivar;

$=Cos(x)$

Ejercicio 4

$f(x)=\frac{x}{Sec(x)}$

Solución

Aplicaremos la regla de la derivada del cociente;

$f(x)'=\frac{x'.Sec(x)-x.Sec(x)'}{Sec^{2}(x)}$

derivamos;

$=\frac{Sec(x)-x.Sec(x).Tag(x)}{Sec^{2}(x)}$

Es posible que durante la resolución de algunos ejercicios, tenga que utilizar otras identidades trigonométricas, entre las que se encuentran:

$Sen^{2}(x)+Cos^{2}(x)=1$

$Tag^{2}(x)+1=Sec^{2}(x)$

$Ctg^{2}(x)+1=Csc^{2}(x)$

$Sec(2x)=2Sen(x).Cos(x)$

Es importante acotar, que las funciones trigonométrica cuentan con su inversa trigonométricas, las cuales estudiaremos posteriormente la resolución de este tipo de derivadas.