Derivada de cos 2x y cos^2 2x

Derivada de cos 2x paso a paso

La derivada de \cos(2x) con respecto a x se puede calcular utilizando la regla de la cadena y la derivada del coseno. La regla de la cadena establece que si tenemos una función compuesta f(g(x)), su derivada es f'(g(x)) \cdot g'(x).

Primero, derivamos \cos(2x) con respecto a x, utilizando la derivada del coseno y aplicando la regla de la cadena:

    \[\frac{d}{dx}(\cos(2x)) = -\sin(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) \]

Ahora calculamos la derivada de «2x» aplicando la regla de la constante por la función y luego la derivada de la variable

    \[\frac{d}{dx}(\cos(2x)) = -\sin(2x) \cdot 2\cdot\frac{d}{dx}(x) \]

    \[\frac{d}{dx}(\cos(2x)) = -\sin(2x) \cdot 2 \cdot 1 \]

Simplificando:

    \[\frac{d}{dx}(\cos(2x)) = -2\sin(2x) \]

Por lo tanto, la derivada de \cos(2x) es -2\sin(2x).

Derivada de cos^2 2x paso a paso:

Podemos seguir un procedimiento similar al usado en el ejercicio de la derivada del coseno al cuadrado, sólo que en este caso, deberemos emplear la regla de la cadena cuando estemos derivando el argumento de la función coseno.

En primer lugar, deberás tener claro que se trata de una potencia conde la base es (\cos(2x)\), así que lo primero que haremos será aplicar la regla de la potencia .

Esta regla establece que la derivada de una función de la forma u^n, donde u es una función de x y n es una constante, se puede calcular como n \cdot u^{n-1} \cdot u', donde u' es la derivada de u con respecto a x.

En este caso, consideramos u = \cos(2x) y n = 2. Entonces, la derivada de (\cos(2x))^2 con respecto a x es:

    \[\frac{d}{dx}((\cos(2x))^2) = 2 \cdot (\cos(2x))^{2-1} \cdot (\cos(2x))' = \]

Solo restaría calcular la derivada de \cos(2x) cuyo procedimiento está explicado más arriba pero en resumen es que se aplica la regla de la derivada del coseno y se multiplica por la derivada de «2x»

    \[\frac{d}{dx}((\cos(2x))^2) = 2 \cdot \cos(2x) \cdot(- \sin(2x))\cdot(2x)' = \]

Calculando la derivada de «2x», ya sabemos que es 2, entoces:

    \[\frac{d}{dx}((\cos(2x))^2) = 2 \cdot \cos(2x) \cdot(- \sin(2x))\cdot 2 = \]

Ordenando:

    \[\frac{d}{dx}((\cos(2x))^2) = -4 \cdot \cos(2x) \cdot \sin(2x) = \]

Por lo tanto, la derivada de (\cos(2x))^2 es -4\cos(2x)\sin(2x).

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