Límites

El cálculo diferencial e integral surgen históricamente cómo solución a 2 grandes problemas matemáticos de la antigüedad como lo son el cálculo de la pendiente tangente a cualquier curva y el área bajo la curva, soluciones que se consiguieron gracias  a lo que hoy en día conocemos como «derivadas» e integrales, respectivamente.

En ambos casos implicó el manejo de operaciones algebraicas con cantidades que aumentan o disminuyen indefinidamente, fracciones donde sus denominadores se hacen sucesivamente más grandes e incluso nulos, siendo por tanto imprescindible el uso de los límites para su estudio y análisis.

En esto yace la importancia de comprender con detalle el concepto de límite, hecho que sin duda te ayudará en la comprensión de temas sucesivos en tu carrera siendo incluso tan importante como el manejo de operaciones algebraicas.

En esta publicación, exploraremos el papel crucial de los límites en el desarrollo del cálculo, así como su relevancia en la comprensión de fenómenos continuos,

Denotación de límites:

La denotación de límites en matemáticas es una notación especial que se utiliza para expresar cómo una función se comporta cuando la variable independiente se acerca a cierto valor. La denotación estándar para expresar límites implica el uso del símbolo \lim, seguido de la variable independiente que se aproxima a cierto valor, y luego la función que estamos evaluando. La notación general es la siguiente:

    \[ \lim_{{x \to a}} f(x) = L \]

Esto se lee como: el límite cuando «x» tiende «a» de «f» de «x» es «L»

Ahora, desglosemos cada componente de la denotación:

1. \lim: Este símbolo indica que estamos considerando el límite de una función. Indica que estamos interesados en cómo se comporta la función a medida que la variable independiente se aproxima a cierto valor.

2. x \to a: Esta parte de la denotación especifica hacia qué valor se acerca la variable independiente x. El símbolo a es el valor al que se aproxima x. En otras palabras, estamos interesados en el comportamiento de la función cuando x se acerca a a.

3. f(x): Aquí indicamos la función que estamos evaluando. Es la función que queremos estudiar en términos de su comportamiento cerca del punto a.

4. L: Este símbolo representa el «límite» al que se aproxima la función f(x) cuando la variable independiente x se acerca a a. En otras palabras, es el valor al que la función tiende a medida que x se acerca a a.

Es importante destacar que el límite de una función puede existir o no existir. Si el límite existe y es finito, entonces la función está bien definida en ese punto y tiene un comportamiento claro cuando x se acerca a a. Si el límite no existe o es infinito, indica que la función puede tener un comportamiento oscilante o no definido cerca del punto a.

Noción intuitiva de límite

El concepto de límite se refiere a la idea de qué valor se acerca una función a medida que la variable independiente se acerca a cierto punto. Es decir, representa el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se acerca a un determinado valor, sin necesariamente alcanzarlo.

Para entenderlo mejor, consideremos la función f(x) = \frac{x^3 - 1}{x - 1} y observemos su comportamiento cuando x se acerca a 1 que es un valor donde esta función no está definida.

Para analizar este comportamiento podemos realizar evaluaciones sucesivas por la derecha y por la izquierda.

Por la derecha, evaluamos f(x) cuando x se acerca a 1 desde valores mayores que 1:

nocion intuitiva de limites

Por la izquierda, evaluamos f(x) cuando x se acerca a 1 desde valores menores que 1:

concepto de limites

Observamos que a medida que x se acerca a 1, ya sea desde la izquierda o desde la derecha, los valores de f(x) tienden a 3. Estos dos valores, son los que conocemos como límites laterales, publicación que te recomiendo leer para comprender tanto la denotación como las conclusiones que te indico de aquí en adelante.

Por lo tanto, podemos concluir que:

    \[ \lim_{{x \to 1^+}} f(x) = 3 \quad \text{y} \quad \lim_{{x \to 1^-}} f(x) = 3 \]

Y como ambos límites se aproximan al mismo valor, el límite general \lim_{{x \to 1}} f(x) es igual a 3.

Por lo tanto, la noción intuitiva de límite nos permite entender cómo se comporta una función en las cercanías de un cierto punto, ayudándonos a comprender mejor su comportamiento y propiedades.

Como noción intuitiva de límite de una función se entiende como;

El límite de una función F(x) cuando X tiende al valor de (a) es L.

    \[\displaystyle \lim_{x \to a}F(x)=L\]

Es decir, en la medida que X se acerca al valor de (a) entonce F(x) se acerca a L, sin llegar necesariamente a X o ha L.

Es de acotar que que el acercamiento al valor de (a), debe ser tanto por la derecha como por la izquierda, así como F(x) debe acercarse a L tanto por arriba como por debajo, cumpliendo así a lo que llamamos límite, sin llegar a x=a ó F(x)=L.

Definición formal de límite (épsilon-delta)

Para comprender el concepto de límite estudiaremos la definición épsilon-delta de límite, siendo:

El límite de F(x) cuando x tiende ha (a) es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor a cero existe un número real δ mayor a cero tal que, si la distancia entre X y (a) es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de X y L es menor que ε unidades.

Como observamos en el gráfico y ante la definición anterior, si esta determinada la existencia de un intervalo abierto que contenga un valor (a) con una F(x) definida en todos los puntos de dicho intervalo, donde el limite es L, significa que para cada número positivo de ε es posible la existencia de un valor positivo δ por más pequeño que sea ε, donde para cada valor de X diferente a (a) que cumpla la desigualdad \left| x-a\right|< \delta es posible confirmar que \left| f(x)-L\right|< \delta

 

LIMITE

Concluyendo, que una función tiene límite en un punto (a) si, eligiendo un valor δ>0 tenemos el correspondiente valor de ε>0  siempre que \delta> \left| x-a\right|> 0, se verifique que \varepsilon > \left| F(x)-L\right|>0

Continuidad

Decimos que una función f(x) es continua en un punto de abscisa x = a si cumplen  con las  condiciones:

1.- La función debe estar definida en x = a, es decir, (a) pertenece al dominio de la función.

2.- Que exista el \displaystyle \lim_{x \to a}F(x)

3.- El límite para X tendiendo a (a) es igual al valor de la función en el punto de abscisa x = a, es decir,  \displaystyle \lim_{x \to a}F(x)=F(a)

Incremento

Si  queremos conocer el comportamiento de la función cuando nos corremos a la derecha o a la izquierda de (a), debemos darle a la abscisa un incremento distinto de cero que llamaremos Δx.

LIMITE-INCREMENTO..

Como observamos en el gráfico, la nueva ordenada sería f(a+Δx), es evidente que el cambio que experimentó la función  F(x) viene dado por la diferencia f(a+Δx) – f(a), a esa diferencia la llamamos incremento de la función y la simbolizamos con Δy.

Propiedades de los limites

Dentro de las propiedades mas utilizadas se tienen:

1.- El limite de una función, si existe, es único.

2.- El limite de una función F(x)= X que tiende a un valor (a) es: \displaystyle \lim_{x \to a}X=a

3.- Limite de una constante es igual a la constante (\displaystyle \lim_{x \to a}c=c).

4.- Limite de una suma o resta:

    \[\displaystyle \lim_{x \to a}(F(x)+G(x))=\displaystyle \lim_{x \to a}F(x)+\displaystyle \lim_{x \to a}G(x)\]

    \[\displaystyle \lim_{x \to a}(F(x)-G(x))=\displaystyle \lim_{x \to a}F(x)-\displaystyle \lim_{x \to a}G(x)\]

5.- Limite de un producto:

    \[\displaystyle \lim_{x \to a}(F(x).G(x))=\displaystyle \lim_{x \to a}F(x).\displaystyle \lim_{x \to a}G(x)\]

6.- Limite de una división:

    \[\displaystyle \lim_{x \to a}(\frac{F(x)}{G(x)})=\frac{\displaystyle \lim_{x \to a}F(x)}{\displaystyle \lim_{x \to a}G(x)}\]

Existen otras propiedades como limite de un escalar por una función, limite de un logarítmico, limite de una función elevada a otra función, entre otras, las cuales te presento de manera ampliada junto con algunos ejercicios de cada propiedad en esta publicación.

Tipos de límites

Los tipos de límites dependerá  del valor al que tienda la variable independiente X de una determinada función F(x) o el valor correspondiente que tome su límite, es decir, si:

.- Limite finito:

    \[\displaystyle \lim_{x \to a}F(x)=L\]

    \[\displaystyle \lim_{x \to \infty}F(x)=L\]

.- Limite infinito:

    \[\displaystyle \lim_{x \to a}F(x)=\infty\]

    \[\displaystyle \lim_{x \to \infty}F(x)=\infty\]

Limites indeterminados

Al iniciar el estudio de limites indeterminados se cree que el límite no existe, criterio erróneo, la indeterminación nos indica que debemos aplicar o desarrollar una serie de operaciones adicionales para eliminar dicha ideterminación para que finalmente conseguir el valor del límite.

Entre las indeterminaciones tenemos: \frac{0}{0};\frac{\infty }{\infty }:\infty-\infty ;0.\infty ;1^{\infty };\infty^{0}; 0^{0}

Para la resolución de este tipo de limites es recomendable utilizar la regla de l´hopital, donde se debe cumplir que:

    \[\displaystyle \lim_{ \to a}(\frac{F(x)}{G(x)})=\displaystyle \lim_{ \to a}(\frac{F'(x)}{G'(x)})\]

Limites trigonométrico

Se llaman limites trigonométricos, a los límites que contienen funciones trigonométricas, como seno, coseno, tangente, entre otras. Por ejemplo:

    \[\displaystyle \lim_{x \to 4}Sen(2x)\]

    \[\displaystyle \lim_{x \to -3}(Sen(x)+4Cos(x)\]

Para el cálculo de límites trigonométricos, se pueden hacer mediante la evaluación directa, pero en la mayoría de los casos es necesario realizar otras operaciones como factorizar, racionalizar, o bien, en algunos casos se requiere aplicar las propiedades trigonométricas básicas.

Limite al infinito

El límite de una función al finito se define como:

Se dice que el límite de la función F(x) cuando x→+∞ es L, denotándose \displaystyle \lim_{x \to \infty }F(x)=L si para cualquier valor ε>0 existe un número δ>0 tal que, \left|F(x)-L \right|< \varepsilon si y solo si x>δ.

El límite de la función F(x) cuando x→-∞ es L, denotándose \displaystyle \lim_{x \to -\infty }F(x)=L si para cualquier valor ε>0 existe un número δ<0 tal que, \left|F(x)-L \right|< \varepsilon si y solo si x<δ.

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