Derivada de cos^3 x y de cos 3x

Por razones didacticas primero te explicaré la derivada de \cos(3x), comencemos:

Derivada de cos 3x explicada paso a paso:

La derivada de \cos(3x) se puede calcular utilizando la regla de la cadena y la derivada del coseno. Así que empecemos:

    \[\frac{d}{dx}(\cos(3x)) = -\sin(3x) \cdot \frac{d}{dx}(3x)\]

La derivada de 3x se calcula con la regla de la constante por la variable.

    \[\frac{d}{dx}(\cos(3x)) = -\sin(3x) \cdot 3\cdot \frac{d}{dx}(x)\]

La derivada de la variable es 1, así que:

    \[\frac{d}{dx}(\cos(3x)) = -\sin(3x) \cdot 3\cdot 1\]

Ordenando un poco:

    \[ \frac{d}{dx}(\cos(3x)) = -3\sin(3x) \]

Por lo tanto, la derivada de \cos(3x) con respecto a x es -3\sin(3x).

Derivada de cos^3 x por pasos detallados

La derivada de (\cos(x))^3 con respecto a x se puede calcular utilizando la regla de la potencia. La regla de la potencia establece que la derivada de una función de la forma u^n es n \cdot u^{n-1} \cdot u', donde u es la función base y u' es su derivada.

Aplicando esta regla a (\cos(x))^3, obtenemos:

    \[ \frac{d}{dx}(\cos(x))^3 = 3 \cdot (\cos(x))^{3-1} \cdot \frac{d}{dx}(\cos(x)) \]

Si ahora aplicamos la regla de la derivada para el coseno nos queda:

    \[ \frac{d}{dx}(\cos(x))^3 = 3 \cdot (\cos(x))^2 \cdot (-\sin(x)) \]

Simplificando, la derivada es:

    \[ \frac{d}{dx}(\cos(x))^3 = -3\cos^2(x)\sin(x) \]

Por lo tanto, la derivada de (\cos(x))^3 con respecto a x es -3\cos^2(x)\sin(x).

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