Límites trigonométricos

Los límites trigonométricos son una parte fundamental del cálculo y desempeñan un papel crucial en entender el comportamiento de las funciones trigonométricas a medida que se acercan a ciertos valores. Estos límites son esenciales en el análisis matemático y son utilizados en diversas ramas de la ciencia y la ingeniería. Para comprenderlos a fondo, es necesario explorar los conceptos clave asociados con las funciones trigonométricas y cómo se comportan en situaciones límite.

Límites trigonométricos

Se le denomina limites trigonométricos a los límites que contienen funciones trigonométricas como por ejemplo: Sen(x), Cos(x), Tag(x), entre otras.

Para la resolución de estos límites se recomienda evaluar primero, dado un resultado directo, pero en aquellos casos que presenten alguna indeterminación se recomienda aplicar las consideraciones según sea \frac{\infty }{\infty }, \frac{0}{0 }, 0.∞, ∞-∞, 1^{\infty }, de no desaparecer la indeterminación se recomienda la aplicación de las identidades trigonométricas.

Relaciones y transformaciones trigonométricas fundamentales.

A continuación se presenta algunas de las relaciones trigonométricas mas utilizadas en la resolución de límites trigonométricos:

    \[Tag(x)=\frac{sen(x)}{Cos(x)}\]

    \[Sec(x)=\frac{1}{Cos(x)}\]

    \[Csc(x)=\frac{1}{Sen(x)}\]

    \[Sen^{2}(x)=1-Cos^{2}(x)\]

    \[Sen(2x)=2.Sen(x)Cos(x)\]

Estos límites son esenciales en la resolución de problemas más complejos. Por ejemplo, son cruciales al derivar funciones trigonométricas o al resolver límites indeterminados utilizando técnicas de álgebra. Sin embargo, existen casos donde esto basta por lo que es imprescindible acudir al uso de los límites trigonométricos básico

Límites Trigonométricos Básicos:

a. Límite del Seno:

    \[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(x)}}{x} = 1 \]

b. Límite del Coseno:

    \[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{1 - \cos(x)}}{x} = 0 \]

c. Límite de la Tangente:

    \[ \lim_{{x \to \frac{\pi}{2}}} \tan(x) = \infty \]

    \[ \lim_{{x \to -\frac{\pi}{2}}} \tan(x) = -\infty \]

d. Límite de Cotangente, Secante y Cosecante:

    \[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{\cos(x)}}{\sin(x)} = 1 \]

    \[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sec(x)}}{\tan(x)} = 1 \]

    \[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{\csc(x)}}{\cot(x)} = 1 \]

Ejercicios de límites trigonométricos.

Resolver los siguientes límites:

Ejercicio 1.-

    \[\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{Tg(x)-Sen(x)}{1-cos(x)})\]

Solución

evaluamos

    \[=(\frac{Tg(0)-Sen(0)}{1-cos(0)})\]

    \[=(\frac{0-0}{1-1})\]

    \[=(\frac{0}{0})\]

para eliminar la indeterminación aplicamos la identidad de la tangente;

    \[tag(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}\]

sustituimos y simplificamos;

    \[\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{\frac{sen(x)}{cos(x)}-Sen(x)}{1-cos(x)})\]

    \[=\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{\frac{sen(x)- sen(x).cos(x)}{cos(x)}}{1-cos(x)})\]

    \[=\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{\frac{sen(x)(1- cos(x)}{cos(x)}}{1-cos(x)})\]

    \[=\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{sen(x)(1- cos(x))}{cos(x)(1-cos(x))})\]

    \[=\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{sen(x)}{cos(x)})\]

evaluamos nuevamente;

    \[=(\frac{sen(0)}{cos(0)})\]

    \[=(\frac{0}{1})\]

    \[=0\]

Ejercicio 2.-

    \[\displaystyle \lim_{x \to 0}(Cos(x))^{\frac{1}{sen^{2}(x)}}\]

Solución

evaluamos;

    \[=(Cos(0))^{\frac{1}{sen^{2}(0)}}\]

    \[=1^{\infty } \]

eliminamos la indeterminación aplicando la expresión;

    \[\displaystyle \lim_{x \to a}(F(x))^{(G(x)}=e^{\displaystyle \lim_{x \to a}(G(x)(F(x)-1))} \]

    \[=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{1}{Sen^{2}(x)}(Cos(x)-1))} \]

donde

    \[Sen^{2}(x)=1-Cos^{2}(x)\]

    \[=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{1}{1-Cos^{2}(x)}(Cos(x)-1))} \]

    \[=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{-(1-Cos(x))}{(1-Cos(x))(1+Cos(x))})}\]

    \[=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{-1}{1+Cos(x)})}\]

evaluamos nuevamente;

    \[=e^{(\frac{-1}{1+Cos(0)})}\]

    \[=e^{\frac{-1}{2}}\]

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