Derivada de x^3/3

Para calcular la derivada de \frac{x^3}{3}, utilizaremos la regla de potencias. La regla de potencias establece que la derivada de x^n con respecto a x es n \cdot x^{n-1}. Aquí están los pasos detallados:

1. Escribir la función:

    \[ f(x) = \frac{x^3}{3} \]

2. Aplicar la regla de una constante por una función:

    \[ f'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dx}(x^3) \]

3. Derivar x^3 aplicando la regla de las potencias:

    \[ \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 \]

4. Sustituir en la expresión original:

    \[ f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 \]

5. Simplificar:

    \[ f'(x) = x^2 \]

Por lo tanto, la derivada de \frac{x^3}{3} con respecto a x es x^2.

Cómo calcular la derivada de x^3/3 usando la definición de la derivada:

Para calcular la derivada de \frac{x^3}{3} utilizando la definición de derivada como un límite, aplicaremos la siguiente fórmula:

    \[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

Donde f(x) = \frac{x^3}{3}. Ahora, sigamos los pasos:

1. Escribir la función:

    \[ f(x) = \frac{x^3}{3} \]

2. Definir la expresión para la derivada:

    \[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{\frac{(x+h)^3}{3} - \frac{x^3}{3}}{h} \]

3. Expandir y simplificar:

    \[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{\frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3}{3} - \frac{x^3}{3}}{h} \]

4. Simplificar la expresión dentro del límite:

    \[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{3x^2 + 3xh + h^2}{3} \]

5. Dividir cada término por h:

    \[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{3x^2}{3} + \frac{3xh}{3} + \frac{h^2}{3} \]

6. Simplificar aún más:

    \[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} x^2 + xh + \frac{h^2}{3} \]

7. Evaluar el límite:

    \[ f'(x) = x^2 + 0 + 0 \]

Por lo tanto, la derivada de \frac{x^3}{3} con respecto a x es x^2 cuando se calcula usando la definición de derivada como un límite.

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