Limites al infinito - Calculodiferencial.com

En matemática cuando nos referimos al ∞, se hace referencia a un valor muy grande no definido. La palabra infinito proviene del latín infinitus, que significa sin límite o indeterminado, como por ejemplo si se desea conocer el numero de hojas de un árbol seria casi imposible contarlas por tanto se dice que tiene infinitas hojas.

Limite infinito

Para iniciar el estudio de estos límites infinito debemos reconocer ciertas simbologias, principalmente infinito (∞), siendo este una representación de un valor muy grande no definido.

Se dice que el límite infinito existe:

Cuando la función F(x) llega a adquirir valores que crecen continuamente, es decir, la función se hace tan grande como queramos. Se dice que F(x) diverge a infinito. Para ello, el valor al que tienda la variable independiente x puede ser tanto a un número finito, como tender al infinito (límites al infinito).

Los límites infinitos presentan varios casos, uno cuando la variable tiende a infinito ( x→∞ $),$ significando que la variable X de la función toma valores arbitrariamente grandes y otro caso es cuando ( x→a $) dando como resultado un valor infinito.$

Casos de límites infinitos.

En los limites infinitos se presentan tres casos particulares, el primero cuando x tiende a infinito, el segundo cuando la función tiende al infinito y el tercero cuando la variable y la función tiende al infinito. Vamos a ver cada caso:

Limite cuando la variable tiende al infinito

El límite de una función F(x) cuando X tiende a infinito es L, si y solo, si para todo $\varepsilon >0$ tal que, para todo x en el dominio de F, se cumple $\begin{vmatrix} x\end{vmatrix}> \mathbb{R}\Rightarrow \begin{vmatrix} F(x)-L\end{vmatrix}< \varepsilon$ .

Ejemplo:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}=0$

De acuerdo a esta definición se presentan dos situaciones:

a.- Si es X>0 se dice que X tiende al infinito positivo (x→+∞) .
b.- Si X<0 se dice que X tiende a menos infinito (x→-∞).

Función que tiende al infinito

El límite de una función F(x), cuando X tiende a c (x→-c) es infinito, si y solo si, para todo R>0 existe un δ>0 tal que, para todo punto X en el dominio de F, se cumple 0<|x-c|< δ tal que |F(x)|>R.

Es decir, $\displaystyle \lim_{x \to c } F(x)=\infty$ , por ejemplo:

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\infty$

Limite infinito cuando la función y variable tiende al infinito

Es de aclarar que cuando la variable tiende al infinito el resultado del límite puede ser un numero real, pero en esta ocasión el resultado también tiende a infinito, definiendo como:

El límite de una función F(x) es infinito, cuando X tiende a infinito, si y solo si, para todo C>0 existe un R>0 para el cual se cumple |x|>R tal que |f(x)|>C} , siempre que x pertenezca al Dominio de la función F(x).

Ejemplo:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}x+1=\infty$

Operaciones básica con infinito

Para resolver limites infinitos es necesario conocer ciertas operaciones básicas para facilitar el desarrollo de los mismo, los cuales se resumen en el siguiente cuadro:

OPERACIONES-CON-INFINITO