Indeterminación infinito elevado a la cero

El procedimiento para eliminar la indeterminación infinito elevado a la cero \infty ^{0} es parecida a la de cero elevado a la cero 0^{0} , si ya consultaste esta pagina se te hará fácil comprender los ejercicios que te presentamos a continuación.

Indeterminación infinito elevado a la cero \infty ^{0}.

En la indeterminación infinito elevado a la cero \infty ^{0} aplicamos la propiedad de los logaritmos de la siguiente manera:

    \[\displaystyle \lim_{x \to a}F(x)^{G(x)}=0^{0} \]

    \[\displaystyle \lim_{x \to a}F(x)^{G(x)}=e^{\displaystyle \lim_{x \to a}Ln (F(x)^{G(x)})}\]

    \[=e^{\displaystyle \lim_{x \to a}{G(x)Ln (F(x)})}\]

esto genera dos opciones en la resolución del ejercicio que pueden ser utilizadas:

    \[\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{G(x)}{\frac{1}{Ln F(x)}}=\frac{0}{0}\]

y

    \[\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{Ln F(x)}{\frac{1}{G(x)}}=\frac{\infty }{\infty }\]

Ejercicio de limite indeterminado infinito elevado a la cero \infty ^{0}

Resolver los siguientes límites.

Ejercicio 1.-

    \[\displaystyle \lim_{ x\to 0}(\frac{1}{sen(x)})^{sen(x)}\]

Solución

evaluamos:

    \[=(\frac{1}{sen(0)})^{sen(0)}\]

    \[=\infty^{0} \]

transformamos otra indeterminación según las expresiones anteriores, selecciona la que tu considere, en este caso trabajaremos con;

    \[=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}{Sen(x)Ln (\frac{1}{Sen(x)}})}\]

    \[\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{Ln F(x)}{\frac{1}{G(x)}}\]

    \[=\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{Ln \frac{1}{sen(x)}}{\frac{1}{Sen(x)}}\]

seguidamente implementamos la regla de L’Hopital, derivamos por separado;

    \[ Ln \frac{1}{sen(x)}'=\frac{-cos(x)}{Sen(x)}\]

    \[(\frac{1}{sen(x)})'=\frac{-cos(x)}{sen^{2}(x)}\]

    \[ =\displaystyle \lim_{x \to 0}=\frac{\frac{-cos(x)}{Sen(x)}}{\frac{-cos(x)}{sen^{2}(x)}} \]

    \[ =\displaystyle \lim_{x \to 0}=\frac{-cos(x).sen^{2}(x)}{-cos(x)sen(x)} \]

    \[ =\displaystyle \lim_{x \to 0}=sen(x)} \]

evaluando;

    \[=0\]

    \[=e^{0}\]

    \[=1\]

Ejercicio 2.-

    \[\displaystyle \lim_{x \to \infty }(x)^{\frac{1}{x}}\]

Solución

procedemos a eliminar la indeterminación;

    \[=e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty }{\frac{1}{x}}Ln(x)}\]

    \[=e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{Ln(x)}{\frac{1}{x}}}\]

    \[=e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{Ln(x)}{x}}\]

L’Hopital;

    \[(\frac{Ln(x)}{x})'=\frac{1}{x}\]

evaluando;

    \[=\frac{1}{\infty}\]

    \[=0\]

    \[=e^{0}\]

    \[=1\]

Otras publicaciones que te pueden interesar: