Regla de la cadena (derivadas): Con ejercicios resueltos

La Regla de la Cadena es una herramienta fundamental en cálculo diferencial que permite encontrar la derivada de una función compuesta. Su comprensión es crucial para resolver problemas que implican funciones complejas y compuestas. En esta publicación, exploraremos en detalle cómo aplicar esta regla, comprendiendo su fundamento y practicando su aplicación a través de ejercicios paso a paso.

Repaso de funciones compuestas:

Antes de sumergirnos en la regla de la cadena, es esencial revisar el concepto de función compuesta.

Una función compuesta es aquella que resulta de combinar dos funciones, donde la salida de una función se convierte en la entrada de otra.

Por ejemplo, si tenemos las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = \sqrt{x}$ , entonces la función compuesta $(g \circ f)(x)$ sería $\sqrt{x^2}$ .

Al derivar una función compuesta, es necesario considerar cómo cambia la variable independiente a lo largo de cada paso. La regla de la cadena nos brinda un método sistemático para llevar a cabo este proceso de derivación de manera eficiente y precisa.

En qué consiste la regla de la cadena para derivadas:

La Regla de la Cadena nos proporciona un enfoque estructurado para encontrar la derivada de una función compuesta. Formalmente, si tenemos una función compuesta $y = f(g(x))$ , donde $f$ y $g$ son funciones diferenciables, la derivada de $y$ con respecto a $x$ se calcula como el producto de la derivada de $f$ con respecto a su variable de entrada y la derivada de $g$ con respecto a su variable de entrada, evaluadas en el punto adecuado. Es decir:

$f(g(x))'=f'(g(x)).g'(x)$

En términos más simples, la regla de la cadena nos permite descomponer la derivada de una función compuesta en dos partes: primero, la tasa de cambio de la función exterior con respecto a su entrada, y segundo, la tasa de cambio de la función interior con respecto a su entrada.

La derivada de una función compuesta:

Cuando aplicamos la regla de la cadena, estamos esencialmente desenredando las capas de una función compuesta para encontrar su tasa de cambio instantánea en un punto dado. Este proceso implica tomar la derivada de la función exterior y luego multiplicarla por la derivada de la función interior, evaluada en el punto correspondiente.

Para ilustrar este proceso, consideremos la función compuesta $y = f(g(x))$ . La derivada de esta función con respecto a $x$ se calcula como $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ , donde $f'$ representa la derivada de $f$ y $g'$ la derivada de $g$ .

Esta formulación nos permite descomponer el problema en pasos manejables, simplificando el cálculo de derivadas en situaciones complejas.

Regla de la cadena: multiplicación y división:

La regla de la cadena se aplica de manera similar tanto a funciones que implican multiplicación como a aquellas que implican división. En el caso de la multiplicación, debemos encontrar la derivada de cada factor y luego sumar las contribuciones individuales.

Por otro lado, en el caso de la división, se sigue el mismo principio, pero restando las contribuciones en lugar de sumarlas. Estas variantes de la regla ofrecen flexibilidad para abordar una amplia gama de funciones compuestas con diferentes operaciones.

Veamos un par de ejemplos relacionados a la regla de la cadena en multiplicaciones y divisiones antes de pasar a otros ejercicios:

Ejemplos de la regla de la cadena para la multiplicación y la división:

Ejemplo 1: Derivada de una multiplicación con la regla de la cadena

Examinemos la función $g(x) = x \cdot \sin(3x)$ . Vamos a encontrar su derivada utilizando la regla de la cadena.

Solución

1. Identificamos de la función exterior e interior:
– La función exterior es $u = x$ , y la función interior es $v = \sin(3x)$ .

2. Derivamos por separado:
– Calculemos por separado las derivadas de $u$ y $v$ :
– $u' = 1$ (derivada de $x$ )
– $v' = 3\cos(3x)$ (derivada de $\sin(3x)$ )

3. Aplicación de la regla de la cadena:
– Aplicamos la Regla de la Cadena: $g'(x) = u' \cdot v + u \cdot v'$ .
– Sustituimos las derivadas calculadas en el paso 3: $g'(x) = 1 \cdot \sin(3x) + x \cdot 3\cos(3x)$ .

4. Simplificamos:
– La derivada final es $g'(x) = \sin(3x) + 3x\cos(3x)$ .

Este resultado representa la derivada de la función original $g(x)$ con respecto a $x$ aplicando la Regla de la Cadena. Ambos ejercicios ilustran cómo descomponer funciones multiplicativas complejas para encontrar sus derivadas de manera sistemática.

Ejemplo 2: Derivada de una división con la regla de la cadena

Consideremos la función $f(x) = \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x}}$ . Vamos a encontrar su derivada utilizando la regla de la cadena.

Solución

1. Identificamos de la función exterior e interior:
– La función exterior es $u = x^2 + 1$ , y la función interior es $v = \sqrt{x}$ .

2. Derivamos por separado:
– Calculemos las derivadas parciales de $u$ y $v$ :
– $u' = 2x$ (derivada de $x^2 + 1$ )
– $v' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ (derivada de $\sqrt{x}$ )

3. Aplicamos de la regla de la cadena:
– Aplicamos la regla de la cadena: $f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
– Sustituimos las derivadas parciales calculadas: $f'(x) = \frac{(2x)(\sqrt{x}) - (x^2 + 1)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{\sqrt{x}^2}$ .

4. Simplificamos:
– Simplificamos la expresión: $f'(x) = \frac{2x\sqrt{x} - \frac{x^2 + 1}{2\sqrt{x}}}{x}$ .

Ejercicios de derivadas empleando la regla de la cadena:

La mejor manera de consolidar la comprensión de la regla de la cadena es a través de la práctica. A continuación, presentamos una serie de ejercicios paso a paso que abarcan diversos tipos de funciones compuestas.

Ejercicio 1: Función: $f(x) = \sin(2x^2 + 3x)$

Solución

1. Identificamos la función exterior e interior:
– La función exterior es $u = \sin(x)$ .
– La función interior es $v = 2x^2 + 3x$ .

2. Calculamos las derivadas por separado:
– $u' = \cos(x)$ .
– $v' = 4x + 3$ .

3. Aplicacmos de la regla de la cadena y reemplazamos las derivadas obtenidas en el paso anterior
– $f'(x) = u'(v) \cdot v' = \cos(2x^2 + 3x) \cdot (4x + 3)$ .

Ejercicio 2: Función: $g(x) = e^{-3x^2}$

Solución

1. Identificamos la función exterior e interior:
– La función exterior es $u = e^x$ .
– La función interior es $v = -3x^2$ .

2. Calculamos las derivadas por separado:
– $u' = e^x$ .
– $v' = -6x$ .

3. Aplicamos la regla de la cadena:
– $g'(x) = u'(v) \cdot v' = e^{-3x^2} \cdot (-6x)$ .

Ejercicio 3: Función: $h(x) = \sqrt{4x^3 + 1}$

Solución

1. Identificamos de la función exterior e interior:
– La función exterior es $u = \sqrt{x}$ .
– La función interior es $v = 4x^3 + 1$ .

2. Calculamos las derivadas de cada función:
– $u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .
– $v' = 12x^2$ .

3. Aplicación de la regla de la cadena:
– $h'(x) = u'(v) \cdot v' = \frac{1}{2\sqrt{4x^3 + 1}} \cdot (12x^2)$ .

Ejercicio 4: Función: $k(x) = \cos(5x - 2)$

Solución

1. Identificamos de la función exterior e interior:
– La función exterior es $u = \cos(x)$ .
– La función interior es $v = 5x - 2$ .

2. Derivamos por separado:
– $u' = -\sin(x)$ .
– $v' = 5$ .

3. Aplicamos la regla de la cadena:
– $k'(x) = u'(v) \cdot v' = -\sin(5x - 2) \cdot 5$ .

Ejercicio 5: Función: $m(x) = \ln(3x^2 + 1)$

Solución

1. Identificamos la función exterior e interior:
– La función exterior es $u = \ln(x)$ .
– La función interior es $v = 3x^2 + 1$ .

2. Derivadas ambas funciones:
– $u' = \frac{1}{x}$ .
– $v' = 6x$ .

3. Aplicación de la regla de la cadena:
– $m'(x) = u'(v) \cdot v' = \frac{1}{3x^2 + 1} \cdot (6x)$ .

Ejercicio 6: Función: $n(x) = \tan(4x^3 - x)$

Solución

1. Identificamos la función exterior e interior:
– La función exterior es $u = \tan(x)$ .
– La función interior es $v = 4x^3 - x$ .

2. Derivamos estas funciones:
– $u' = \sec^2(x)$ .
– $v' = 12x^2 - 1$ .

3. Aplicamos la regla de la cadena:
– $n'(x) = u'(v) \cdot v' = \sec^2(4x^3 - x) \cdot (12x^2 - 1)$ .

En cada ejercicio, identificamos la función exterior e interior, calculamos las derivadas por separado y luego aplicamos la regla de la cadena para encontrar la derivada de la función original con respecto a $x$ .

Esto nos permite comprender cómo la regla de la cadena se aplica en una variedad de funciones, sin embargo, en la práctica, esto no suele realizarse de este modo, sino de manera directa.

Veamos un par de ejercicios más donde lo hacemos de este modo:

Ejercicio 7: Calcular la derivada de $m(x) =\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^{5}+8)^{6}$

Solución

Si analizamos la función, se dice que es compuesta porque dentro del paréntesis se localiza una función que según el caso es polinómica, pero al estar elevada al exponente 6, se convierte toda ella en una función exponencial, es decir, tenemos dos funciones en una.

Para derivar comenzamos derivando la función exterior, es decir la exponencial, seguidamente, multiplicamos por la derivada de la función interior (la polinómica).

$m'(x) =6(x^{5}+8)^{5}(x^{5}+8)'$

$m'(x)=6(x^{5}+8)^{5}(5x^{4})$

$m'(x)=30(x^{5}+8)^{5}(x^{4})$

Ejercicio 8: Función: $\(p(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sqrt{tag(x)}$

Solución

En este caso lo haremos de manera directa, sólo tendremos en cuenta la siguiente consideración antes de comenzar a derivar, que vale mencionar, no tiene nada que ver con la regla de la cadena:

$\sqrt{tag(x)}={tag(x)}^{\frac{1}{2}$

Ahora si derivamos y aplicamos la regla de la cadena, de

$p'(x)=\frac{1}{2}tag(x)^{\frac{1}{2}-1}.tag(x)'$

$p'(x)=\frac{1}{2}{\frac{1}{tag(x)^{\frac{1}{2}}}.sec(x)^2$

Ejercicio 9: Función: $q(x)=Sen(2{x^{5}})$

Solución

Al aplicar la regla de la cadena derivamos la función Seno sin considerar la parte interna del paréntesis, posteriormente derivamos la parte interna

$q'(x)=Sen(2{x^{5})}'(2{x^{5}})'$

$q'(x)=Cos(2{x^{5})}(2.5{x^{4}})$

$q'(x)=10Cos(2{x^{5})}({x^{4}})$