Derivadas parciales: definiciones, denotación ejercicios y usos

Las derivadas parciales constituyen una herramienta fundamental en el campo del cálculo y tienen aplicaciones extensas en diversas disciplinas, desde la física hasta la economía y la inteligencia artificial. Este artículo explora en profundidad el concepto de derivadas parciales, cómo se calculan y cómo se aplican en diferentes contextos.

Derivadas parciales.

Las derivadas parciales son una extensión natural de las derivadas ordinarias que se aplican a funciones de varias variables. Mientras que las derivadas ordinarias se enfocan en la tasa de cambio de una variable con respecto a otra en una función de una sola variable, las derivadas parciales nos permiten entender cómo cambia una función en relación con cada una de sus variables mientras las demás se mantienen constantes.

Las derivadas parciales son muy útil su aplicación en el calculo vectorial y en la geometría diferencial.

Se entiende por derivadas parciales a la derivada de una función caracterizada por tener varias variables, donde se deriva en función a una de las variables quedando el resto como constante.

Por ejemplo, si tenemos la función:

$f(x,y)=2x^{2}+xy+6$

hay dos variable X y Y, seleccionando una para indicar con respecto a quien se va a derivar; si fuese la X la variable Y seria constante, denotando;

$\frac{\partial }{\partial x}=2x^{2}+xy+6y+4$

como se va derivar con respecto a X entonces, Y, 6Y y 4 son constante, procediendo ha aplicar las reglas de las derivadas según sea el caso, es decir, el de la suma, producto y constante;

$\frac{\partial }{\partial x}=4x+y+0+0$

$\frac{\partial }{\partial x}=4x+y$

si deseamos derivas respecto a Y sería;

$\frac{\partial }{\partial y}=2x^{2}+xy+6y+4$

$\frac{\partial }{\partial y}=0+x+6+0$

$\frac{\partial }{\partial y}=x+6$

Denotación de las derivadas parciales

La notación comúnmente utilizada para expresar derivadas parciales se basa en símbolos especiales. Para la derivada parcial de una función $f$ con respecto a la variable $x$ , escribimos $\frac{\partial f}{\partial x}$ . Para indicar una segunda derivada parcial, escribimos $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ , y así sucesivamente.

Aunque esta es la denotación más usada, es importante acotar que en distintos libros del tema, software y aplicaciones, también se suelen usar estas denotaciones:

$\frac{\partial }{\partial x}=fx(x,y)=Dxf$

Cálculo de Derivadas Parciales

El cálculo de derivadas parciales implica tratar las variables que no están siendo derivadas como constantes y aplicar las reglas básicas del cálculo diferencial. A continuación, se describen algunas de estas reglas clave.

Regla de la Potencia

La regla de la potencia para derivadas parciales es análoga a la regla de potencia en derivadas ordinarias. Si $f(x, y) = x^n y^m$ , entonces:

$\frac{\partial f}{\partial x} = n x^{n-1} y^m$

$\frac{\partial f}{\partial y} = m x^n y^{m-1}$

Regla del Producto

Cuando una función es el producto de dos funciones que dependen de una variable, la regla del producto también se aplica a las derivadas parciales. Si $f(x, y) = g(x) h(y)$ , entonces:

$\frac{\partial f}{\partial x} = g'(x) h(y)$

$\frac{\partial f}{\partial y} = g(x) h'(y)$

Regla de la Cadena

La regla de la cadena para derivadas parciales es crucial cuando se trata de funciones compuestas. Si $f(x, y) = g(u, v)$ y $u = u(x, y)$ , $v = v(x, y)$ , entonces:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial g}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}$

Aplicaciones en Ciencias y Ingeniería

Las derivadas parciales son esenciales en campos como la física, la ingeniería y la economía. A continuación, se exploran algunas aplicaciones destacadas.

Física y Geometría

En física, las derivadas parciales se utilizan para describir la tasa de cambio de cantidades con respecto a múltiples variables. En el caso de funciones que describen campos, como el campo de temperatura en un objeto, las derivadas parciales proporcionan información sobre cómo la temperatura cambia en diferentes direcciones.

En geometría, las derivadas parciales son fundamentales para entender la geometría de superficies y curvas en el espacio tridimensional. La derivada parcial de una función de dos variables describe la pendiente de la tangente a la superficie representada por la función en una dirección específica.

Economía y Finanzas

En economía, las derivadas parciales se utilizan para analizar cómo cambian variables económicas, como la oferta y la demanda, en función de múltiples factores. Por ejemplo, se pueden utilizar para analizar cómo cambia la utilidad de un consumidor cuando varían los precios de dos bienes.

En finanzas, las derivadas parciales son fundamentales para la valoración de opciones y otros instrumentos financieros. Ayudan a entender cómo el precio de un derivado cambia con respecto a diferentes variables, como el precio del activo subyacente y la volatilidad.

Machine Learning y Redes Neuronales

En el campo de la inteligencia artificial, las derivadas parciales son esenciales para el entrenamiento de modelos de aprendizaje automático. Los algoritmos de optimización utilizan derivadas parciales para ajustar los pesos de una red neuronal, minimizando la función de pérdida y mejorando la precisión del modelo.

Derivadas Parciales de Orden Superior

Al igual que con las derivadas ordinarias, es posible calcular derivadas parciales de orden superior. Esto implica tomar derivadas sucesivas con respecto a las mismas o diferentes variables. La notación para derivadas parciales de segundo orden, por ejemplo, sería $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ o $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ .

Las derivadas parciales de orden superior tienen aplicaciones particulares en la física teórica, donde las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden modelan fenómenos complejos como las ondas electromagnéticas.

Ejercicios de derivadas parciales explicados:

En cada ejercicio, calcularé la derivada parcial con respecto a una variable específica. Asegúrate de entender cada paso y cómo se aplican las reglas de derivación. Utilizaré la notación $\frac{\partial}{\partial x}$ para representar la derivada parcial con respecto a $x$ y $\frac{\partial}{\partial y}$ para la derivada parcial con respecto a $y$ .

Ejercicio 1:

$f(x, y) = 3x^2 + 2xy - y^3$

Solución 1:
1. $\frac{\partial f}{\partial x} = 6x + 2y$
– Derivada de $3x^2$ con respecto a $x$ es $6x$ .
– Derivada de $2xy$ con respecto a $x$ es $2y$ .
– Derivada de $-y^3$ con respecto a $x$ es $0$ .
2. $\frac{\partial f}{\partial y} = 2x - 3y^2$
– Derivada de $3x^2$ con respecto a $y$ es $0$ .
– Derivada de $2xy$ con respecto a $y$ es $2x$ .
– Derivada de $-y^3$ con respecto a $y$ es $-3y^2$ .

Ejercicio 2:

$g(x, y) = e^{xy} \cos(x)$

Solución 2:
1. $\frac{\partial g}{\partial x} = ye^{xy} \cos(x) - e^{xy} \sin(x)$
– Utilizamos la regla del producto y la regla de la cadena.
2. $\frac{\partial g}{\partial y} = xe^{xy} \cos(x)$
– Utilizamos la regla del producto y la regla de la cadena.

Ejercicio 3:

$h(x, y) = \frac{x}{y} + \ln(y)$

Solución 3:
1. $\frac{\partial h}{\partial x} = \frac{1}{y}$
– Derivada de $x$ con respecto a $x$ es $1$ .
– Derivada de $\ln(y)$ con respecto a $x$ es $0$ .
2. $\frac{\partial h}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} + \frac{1}{y}$
– Utilizamos la regla del cociente y la derivada de $\ln(y)$ .

Ejercicio 4:

$k(x, y) = x^2 \sin(y) + e^y$

Solución 4:
1. $\frac{\partial k}{\partial x} = 2x \sin(y)$
– Derivada de $x^2$ con respecto a $x$ es $2x$ .
– Derivada de $\sin(y)$ con respecto a $x$ es $0$ .
2. $\frac{\partial k}{\partial y} = x^2 \cos(y) + e^y$
– Derivada de $x^2$ con respecto a $y$ es $0$ .
– Derivada de $\sin(y)$ con respecto a $y$ es $\cos(y)$ .

Ejercicio 5:

$m(x, y) = \cos(xy) + \frac{1}{x^2 + y^2}$

Solución 5:
1. $\frac{\partial m}{\partial x} = -y\sin(xy) - \frac{2x}{(x^2 + y^2)^2}$
– Utilizamos la regla del producto y la regla de la cadena.
2. $\frac{\partial m}{\partial y} = -x\sin(xy) - \frac{2y}{(x^2 + y^2)^2}$
– Utilizamos la regla del producto y la regla de la cadena.

Ejercicio 6:

$n(x, y) = x^3y + \sqrt{y}$

Solución 6:
1. $\frac{\partial n}{\partial x} = 3x^2y$
– Derivada de $x^3$ con respecto a $x$ es $3x^2$ .
– Derivada de $\sqrt{y}$ con respecto a $x$ es $0$ .
2. $\frac{\partial n}{\partial y} = x^3 + \frac{1}{2\sqrt{y}}$
– Derivada de $x^3$ con respecto a $y$ es $0$ .
– Derivada de $\sqrt{y}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2\sqrt{y}}$ .

Ejercicio 7:

$p(x, y) = e^{x^2 + y^2}$

Solución 7:
1. $\frac{\partial p}{\partial x} = 2xe^{x^2 + y^2}$
– Utilizamos la regla de la cadena.
2. $\frac{\partial p}{\partial y} = 2ye^{x^2 + y^2}$
– Utilizamos la regla de la cadena.

Ejercicio 8:

$q(x, y) = \ln(xy) + \cos(x)$

Solución 8:
1. $\frac{\partial q}{\partial x} = \frac{1}{x} - \sin(x)$
– Utilizamos la regla del cociente y la derivada de $\ln(xy)$ .
2. $\frac{\partial q}{\partial y} = \frac{1}{y}$
– Utilizamos la regla del cociente y la derivada de $\ln(xy)$ .

Ejercicio 9:

$r(x, y) = x^2y^3 + \frac{1}{x}$

Solución 9:
1. $\frac{\partial r}{\partial x} = 2xy^3 - \frac{1}{x^2}$
– Utilizamos la regla del producto y la regla del cociente.
2. $\frac{\partial r}{\partial y} = 3x^2y^2$
– Utilizamos la regla del producto.

Ejercicio 10:

$s(x, y) = e^{xy^2} + \tan(x)$

Solución 10:
1. $\frac{\partial s}{\partial x} = y^2e^{xy^2} + \sec^2(x)$
– Utilizamos la regla de la cadena y la derivada de $\tan(x)$ .
2. $\frac{\partial s}{\partial y} = 2xye^{xy^2}$
– Utilizamos la regla de la cadena.

Las derivadas parciales son una herramienta matemática poderosa con aplicaciones extendidas en diversas disciplinas. Permiten analizar cómo cambia una función en relación con cada una de sus variables, proporcionando una comprensión detallada de fenómenos físicos, económicos y de inteligencia artificial.

El cálculo de derivadas parciales y su aplicación en la resolución de problemas del mundo real demuestran su relevancia y utilidad en la investigación y el desarrollo tecnológico. La capacidad de modelar y comprender tasas de cambio multidimensionales abre la puerta a nuevas posibilidades en la comprensión y manipulación de fenómenos complejos en nuestro entorno.