Derivada de la secante - Calculodiferencial.com

Para la mayor comprensión de las derivadas trigonométricas, nos dedicaremos a la resolución de algunos ejercicios utilizando la función secante.

En trigonometría, la secante es la inversa del coseno, es decir, es la división de la unidad entre el coseno, es por ello, que para obtener la derivar la función secante se parte de esta identidad.

Derivada de la secante.

En los ejercicios de derivada con la función secante, se utiliza algunas reglas como el de la suma y resta, producto, cociente o constante, también podemos utilizar algunas identidades como:

$Sec ^{2}(x)= Tag^{2}(x)+1$

$Sec (x)=\frac{1}{Cos(x)}$

Definición de derivada de la secante de una función.

Se define como la derivada de la secante de una función al producto de la tangente por la secante por la derivada de la función.

Es decir:

$Sec(x)'={Tag(x)}{Sec(x)}(x)'$

Derivada de la secante y regla de la cadena.

En la resolución de varios ejercicios de derivadas se debe aplicar la regla de cadena, dado que nos podemos encontrar con funciones trigonométricas compuesta.

Ejemplo de derivada de la secante por regla de la cadena.

Con la siguiente función aplicaremos la regla de cadena;

$f(x)=Sec^{2}(x)$

$Sec^{2}(x)=(Sec(x))^{2}$

por regla de la cadena, derivamos la función externa, es decir la potencia y seguidamente derivamos la función interna Sec(x);

$=2(Sec(x)).Sec(x)'$

$=2Sec(x).Tag(x)}{Sec(x)$

$=2Sec^{2}(x).Tag(x)}$

Ejercicios de derivada de la secante.

A continuación desarrollaremos la derivada de la secante en tres funciones:

Ejercicio 1.

Solución

$f(x)=Sec(2x^{3})$

$={Tag(2x^{3})}{Sec(2x^{3})}(2x^{3})'$

en el caso de (2x^{3})’ se aplica la regla del producto y seguidamente la derivada de una constante cuyo resultado es cero;

$={Tag(2x^{3})}{Sec(2x^{3})}(2.3x^{2})$

$={6Tag(2x^{3})}{Sec(2x^{3})}(x^{2})$

Ejercicio 2.

Solución

$f(x)=(Sec(x^{2}+4)-Sec(5x)+Sec(Sen(x))$

$=Sec(x^{2}+4)'-Sec(5x)'+Sec(Sen(x))'$

$=Tag(x^{2}+4)}.Sec(x^{2}+4).(x^{2}+4)'-Tag(5x).Sec(5x).(5x)'+ Tag(Sen(x)).Sec(Sen(x))(Sen(x))'$

$=Tag(x^{2}+4)}.Sec(x^{2}+4).(2x)-5Tag(5x).Sec(5x)+ Tag(Sen(x)).Sec(Sen(x)).Cos(x)$

Ejercicio 3.

Para la resolución de esta derivada podemos aplicar en primer lugar la derivada de un producto para posteriormente derivar la función tangente y la cosecante. Otra forma de resolverlo es aplicando las identidades de cada función y simplificar.

Vamos a resolver este ejercicio utilizando la identidades trigonométricas básicas, donde;

$Tag(x))=\frac{Sen(x)}{Cos(x)}$