Derivada de x por raiz de x

Te explicos paso a paso cómo calcular la derivada de x \sqrt{x}:

1. Escribe la función original:

    \[ f(x) = x \sqrt{x} \]

2. Expresa la raíz cuadrada como potencia:

    \[ \sqrt{x} = x^{1/2} \]

Ahora la expresión se ve como f(x) = x \cdot x^{1/2}.

3. Usa la regla del producto:

La regla del producto establece que si f(x) = g(x) \cdot h(x), entonces la derivada f'(x) se calcula como f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x).

En este caso, g(x) = x y h(x) = x^{1/2}.

4. Calcula las derivadas por separado:

– La derivada de g(x) = x con respecto a x es g'(x) = 1.
– La derivada de h(x) = x^{1/2} con respecto a x es h'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2}.

5. Aplica la regla del producto:

    \[ f'(x) = 1 \cdot x^{1/2} + x \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} \]

6. Simplifica la expresión:

    \[ f'(x) = x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{1/2} \]

Puedes combinar los términos similares para obtener:

    \[ f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} \]

Método alternativo para calcular la derivada de x por raiz de x

Ahora vamos a calcular la derivada de x \sqrt{x} efectuando primero el producto de las potencias de igual base que se obtienen a partir del paso 2 en el ejercicio anterior:

1. Inicia de la función original:

    \[ f(x) = x \sqrt{x} \]

2. Expresa la raíz cuadrada como potencia:

    \[ \sqrt{x} = x^{1/2} \]

Ahora la expresión se ve como f(x) = x \cdot x^{1/2}.

3. Multiplica las potencias de igual base:

    \[ f(x) = x^{3/2} \]

4. Calcula la derivada de la potencia:

Utilizando la regla de potencia f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1}, donde n = \frac{3}{2}:

    \[ f'(x) = \frac{3}{2} \cdot x^{3/2 - 1} = \frac{3}{2} \cdot x^{1/2} \]

5. Simplificamos

    \[ f(x) = x \sqrt{x} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} \]

Al multiplicar las potencias de igual base antes de derivar, se simplifica de manera notable el proceso.

Otros ejercicios de derivadas: