Indeterminación infinito menos infinito

Siguiendo el estudio de los límites indeterminados, en esta oportunidad dedicaremos la pagina al estudio de la indeterminación infinito menos infinito (∞-∞).

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1 Indeterminación infinito menos infinito (∞-∞)

Indeterminación infinito menos infinito (∞-∞)

Recordemos que por lo general para eliminar la indeterminación aplicamos la conjugada tanto en el numerador como denominador, este procedimiento convertirá al limite en la indeterminación $\frac{\infty }{\infty }$ , es decir, hay que aplicar otro procedimiento según el caso. Otras operaciones que se sugieren es la factorización y simplificación.

Antes de iniciar a resolver algunos ejercicios te recomendamos repasar algunas operaciones básicas necesarias para facilitar la resolución de los mismos:

OPERACIONES-CON-INFINITO

Ejercicio de límites indeterminado (∞-∞)

Resolver los siguientes ejercicios de límite:

Ejercicio 1.-

$\displaystyle \lim_{x \to \infty }(\sqrt{x^{2}+2x}-x)$

Solución

$=(\sqrt{(\infty)^{2}+2(\infty)}-(\infty))$

$=\infty-\infty$

multiplicamos y dividimos por la conjugada

$=\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{(\sqrt{x^{2}+2x}-x).(\sqrt{x^{2}+2x}+x)}{(\sqrt{x^{2}+2x}+x)}$

$=\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{(\sqrt{x^{2}+2x})^{2}-x^{2})}{(\sqrt{x^{2}+2x}+x)}$

$=\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{(x^{2}+2x-x^{2})}{(\sqrt{x^{2}+2x}+x)}$

$=\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{(2x)}{(\sqrt{x^{2}+2x}+x)}$

evaluamos:

$=\frac{2\infty }{(\sqrt{(\infty )^{2}+2\infty }+\infty )}$

$=\frac{\infty }{\infty }$

Aplicamos el procedimiento para la indeterminación $\frac{\infty }{\infty }$ , el cual consiste en dividir numerador y denominador entre la variable de mayor exponente;

Se divide entre X, recuerda revisar la propiedades de las raíces;

$=\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{(\frac{2x}{x})}{(\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{2x}{x^{2}}}+\frac{x}{x})}$