Indeterminación uno elevado al infinito

Dentro de los límites indeterminados se encuentra uno muy particular como lo es la indeterminación uno elevado al infinito $1^{\infty }$ .

Contenido

1 Indeterminación 1 al infinito.

Indeterminación 1 al infinito.

Para eliminar la indeterminación $1^{\infty }$ aplicaremos la expresión:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty }(F(x))^{G(x)}=e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty }(G(x))(F(x)-1)}$

Ejercicios de límites indeterminados 1 al infinito

Resolver los siguientes límites:

Ejercicio 1.-

$\displaystyle \lim_{x \to \infty }((\frac{x^{2}+2x}{x^{2}+1})^{(\frac{x^{3}+3x}{x^{2}+2})})$

Solución

evaluando el límite quedaría $1^{\infty }$ , para lo cual aplicamos;

$\displaystyle \lim_{x \to \infty }(F(x))^{G(x)}=e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty }(G(x))(F(x)-1)}$

$=e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty }(\frac{x^{3}+3x}{x^{2}+2})(\frac{x^{2}+2x}{x^{2}+1}-1)}$

$=e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty }(\frac{x^{3}+3x}{x^{2}+2})(\frac{x^{2}+2x-x^{2}-1}{x^{2}+1})}$

$=e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty }(\frac{x^{3}+3x}{x^{2}+2})(\frac{2x-1}{x^{2}+1})}$

$=e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty }(\frac{2x^{4}-x^{3}+6x^{2}-3x}{x^{4}+x^{2}+2x^{2}+2})}$

$=e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty }(\frac{2x^{4}-x^{3}+6x^{2}-3x}{x^{4}+3x^{2}+2})}$

si evaluamos nos quedaría una indeterminación $\frac{\infty }{\infty }$ , por tanto dividimos por la variable de mayor exponente como lo recomienda este tipo de indeterminación;

$=e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty }(\frac{\frac{2x^{4}}{x^{4}}-\frac{x^{3}}{x^{4}}+6\frac{x^{2}}{x^{4}}-\frac{3x}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}}+3\frac{x^{2}}{x^{4}}+\frac{2}{x^{4}}})}$