Derivada de sec^2x (Secante al cuadrado)

La derivada de la \sec^2(x) la podemos calcular siguiendo diferentes vías y en todos los casos debe emplearse la regla de la cadena, te explicaré en primer lugar la más frecuente:

Claramente se trata de una potencia donde la base es \sec(x), podemos entonces aplicar la regla de las potencias y al tratarse de una función compuesta, deberemos agregar la derivada de la base, así:

    \[ \frac{d}{dx}(\sec^2(x)) = 2\sec^{2-1}(x)\frac{d}{dx}(\sec(x) ) \]

Simplificando y aplicando la regla de la derivada para la secante, tenemos:

    \[ \frac{d}{dx}(\sec^2(x)) = 2\sec(x)\sec(x) \tan(x) \]

Agrupando:

    \[ \frac{d}{dx}(\sec^2(x)) = 2\sec^2(x)\tan(x) \]

Así obtenemos que la derivada de \sec^2(x) es 2\sec^2(x)\tan(x)

Método alternativo para calcular la derivada de sec^2(x)

Claro, la derivada de \sec(x) se puede calcular utilizando la regla de la derivada de la secante, que establece que la derivada de \sec(x) es \sec(x) \tan(x). Dado que \sec^2(x) = \sec(x) \cdot \sec(x), podemos utilizar la regla del producto para encontrar la derivada de \sec^2(x):

    \[ \frac{d}{dx}(\sec^2(x)) = \frac{d}{dx}(\sec(x) \cdot \sec(x)) \]

Aplicando la regla del producto, obtenemos:

    \[ \frac{d}{dx}(\sec(x) \cdot \sec(x)) = \sec(x) \frac{d}{dx}(\sec(x)) + \sec(x) \frac{d}{dx}(\sec(x)) \]

Utilizando la regla de la derivada de la secante, la derivada de \sec(x) es \sec(x) \tan(x). Sustituyendo esto en la expresión anterior, obtenemos:

    \[ \frac{d}{dx}(\sec(x) \cdot \sec(x)) = \sec(x) \cdot \sec(x) \tan(x) + \sec(x) \cdot \sec(x) \tan(x) \]

Agrupando términos semejantes y simplificando, obtenemos:

    \[ \frac{d}{dx}(\sec^2(x)) = 2\sec(x) \tan(x) \sec(x) = 2\sec(x) \tan(x) \sec(x) \]

O lo que es lo mismo:

    \[ \frac{d}{dx}(\sec^2(x)) = 2\sec^2(x)\tan(x) \]

Por lo tanto, la derivada de \sec^2(x) es 2\sec^2(x)\tan(x).

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