Ejercicios de derivadas

Desde que inicio el estudia de derivada, se han expuestos algunos ejemplos, en esta oportunidad se presenta una serie de ejercicios para reforzar lo aprendido.

Ejercicios de derivadas.

A continuación se presentan una variedad de derivadas, tratando que cubrir las funciones antes estudiadas, como derivadas algebraicas, derivadas logarítmica, derivadas trigonométricas, derivadas exponenciales entre otras.

Ejercicio 1.

    \[f(x)=\sqrt{x^{8}+x+2}\]

Solución

para resolver el ejercicio podemos aplicar la regla de la derivada de una raíz ó transformamos la raíz a potencia y resolvemos como una función algebraica sencilla, se te recomienda el método que mas domines.

vamos aplicar en esta oportunidad la regla de la raíz;

    \[\sqrt{x}'=\frac{x'}{2\sqrt{x}}\]

    \[f(x)'=\frac{(x^{8}+x+2)'}{2\sqrt{x^{8}+x+2}}\]

    \[=\frac{(8x^{7}+1)}{2\sqrt{x^{8}+x+2}}\]

Ejercicio 2.

    \[f(x)=(\frac{x}{x^{3}+2x})\]

Solución

    \[f(x)'=(\frac{x'.(x^{3}+2x)-x.(x^{3}+2x)'}{(x^{3}+2x)^{2}})\]

    \[=(\frac{(x^{3}+2x)-x.(3x^{2}+2)}{(x^{3}+2x)^{2}})\]

    \[=(\frac{x^{3}+2x-3x^{3}-2x)}{(x^{3}+2x)^{2}})\]

    \[=(\frac{-2x^{3}}{(x^{3}+2x)^{2}})\]

Ejercicio 3.

    \[f(x)=ln(x+2)\]

Solución

la regla para derivar un ln es:

    \[ln(x)'=\frac{x'}{x}\]

    \[f(x)'=\frac{(x+2)'}{x+2}\]

    \[=\frac{(1)}{x+2}\]

Ejercicio 4.

    \[f(x)=Cos^{2}(x^{4})\]

Solución

    \[Cos^{2}(x^{4})=(Cos(x^{4})^{2})\]

    \[f(x)'=(Cos(x^{4})^{2}')\]

    \[=(2 Cos(x^{4})^{2-1}).Cos(x^{4})'.(x^{4})'\]

    \[=(2 Cos(x^{4})).(-Sen(x^{4})).(4x^{3})\]

    \[=-8 Cos(x^{4}).Sen(x^{4}).x^{3}\]

Ejercicio 5.

    \[f(x)=Ctg(x^{3}+9)\]

Solución

    \[=Ctg(x^{3}+9)'\]

donde la regla para derivar de la cotangente es:

    \[Ctg(x)'=-Csc^{2}(x).x'\]

    \[=-Csc^{2}(x^{3}+9).(x^{3}+9)'\]

    \[=-Csc^{2}(x^{3}+9).(3x^{2})\]

Ejercicio 6.

    \[f(x)=e^{sen(x)\]

Solución

en el formulario de derivada establece para este tipo de funciones que;

    \[(e^{x})'=e^{x}.x'\]

    \[=e^{Sen(x)}.Sen(x)'\]

    \[=e^{Sen(x)}.Cos(x)\]

Ejercicio 7.

    \[f(x)=Sen^{-1}(x^{4})\]

Solución

    \[f(x)'=\frac{(x^{4})'}{\sqrt{1-(x^{4})^{2}}}\]

    \[=\frac{4x^{3}}{\sqrt{1-x^{8}}}\]

Ejercicio 8.

    \[f(x)=log(Cos(x))\]

Solución

    \[f(x)'=Log e\frac{(Cos(x))'}{Cos(x)}\]

    \[=Log e(\frac{-Sen(x)}{Cos(x)})\]

Ejercicio 9.

    \[f(x)=5^{x^{8}}\]

Solución

    \[=5^{x^{8}}.(x^{8})'Ln(5)\]

    \[=5^{x^{8}}.(8x^{7})Ln(5)\]

Ejercicio 10.

    \[f(x)=x^{Sen(x)}\]

Solución

    \[f(x)=x^{Sen(x)-1}(Sen(x).x'+x.(Sen(x))'Ln(x))\]

    \[=x^{Sen(x)-1}(Sen(x).(1)+x.(Cos(x))Ln(x))\]

    \[=x^{Sen(x)-1}(Sen(x)+x.(Cos(x))Ln(x))\]

Más ejercicios sobre derivadas explicados con más detalle: