Derivada de una potencia

Para calcular la derivada de una potencia se multiplica el exponente por el valor de la potencia restando 1 al exponente.

Por ejemplo, para calcular la derivada de:

    \[f(x)=x^{3}\]

Lo hacemos de este modo:

    \[f'(x)=3*x^{3-1}\]

    \[f'(x)=3x^{2}\]

Formula de la derivada de una potencia:

De una manera rigurosa tenemos :

Si n es un número racional, para calcular la derivada de la función:

    \[f(x)=x^{n}\]

Usamos la fórmula:

    \[f'(x)=nx^{n-1}\]

Note que en la condición he dicho «n» es un número racional, lo cual implica que puede ser un entero positivo, un entero negativo o fraciones positivas o negativas.

Ejercicios resueltos de derivadas de potencias

Calcularemos la derivada de cada una de las siguientes funciones:

    \[1. f(x)=x^{4}\]

Solución

Derivamos de ambos lados de la igualdad

    \[f'(x)=(x^{4})'\]

Aplicamos la regla de la potencia:

    \[f'(x)=4x^{4-1}\]

Simplificamos:

    \[f'(x)=4x^{3}\]

 

    \[2. g(x)=3x^{2}\]

Solución

Derivamos de ambos lados de la igualdad:

    \[g'(x)=(3x^{2})'\]

Tenemos en primer lugar la derivada de una constante por una función, así que «sacamos» la constante y seguimos derivando:

    \[g'(x)=3(x^{2})'\]

Aplicamos la regla para las potencias

    \[g'(x)=3.2x^{2-1}\]

Resolvemos las operaciones y al final nos queda:

    \[g'(x)=6x'\]

 

    \[3. h(x)=\sqrt[3]{x}\]

Solución

Antes de aplicar la derivada nota que tenemos la raíz cúbica de la variable, una cosa que expliqué en la publicación de derivadas de raíces en la que interpretamos dicha raíz como un exponente fraccionario aplicando la propiedad (de operaciones con números reales) de la raíz de una potencia, así, al escribir la fracción como una potencia, tenemos:

    \[h(x)=x^{\frac{1}{3}}\]

Y ahora si comenzamos derivando en ambos miembros de la igualdad:

    \[h'(x)=(x^{\frac{1}{3}})'\]

Sólo debemos aplicar la regla de la derivada de una potencia

    \[h'(x)=frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}\]

Al realizar la resta en el exponente nos queda:

    \[h'(x)=frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\]

 

    \[4. j(x)=\frac{1}{x^{2}}\]

Solución

En este caso nuevamente podemos hacer una transformación aplicando la propiedad de potencia con exponente negativo «pasando» el denominador arriba y cambiando el signo del exponente, nos quedaría:

    \[j(x)=x^{-2}\]

Ahora nos resta calcular la derivada de una potencia con exponente negativo que no se resuelve aplicando la misma regla de derivación, comenzamos a derivar de ambos lados:

    \[j'(x)=(x^{-2}'\]

Aplicamos la regla de derivada de potencias y tendríamos:

    \[j'(x)=-2x^{-2-1}\]

Resolviendo:

    \[j'(x)=-2x^{-3}\]

 

Recuerda que si te queda alguna duda puedes dejarla en los comentarios y que además puedes consultar otras de mis publicaciones como:

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