Derivada de una raíz

Dentro de las diferentes reglas de derivación para diferentes funciones nos encontramos con una muy particular como es la derivada de una raíz.

Al derivar una raíz se pueden presentar dos casos:

Caso 1:

$\sqrt{x}' =\frac{X'}{2\sqrt{x}}$

Caso 2:

En el caso de raíces enésimas, se transforman estas a potencia y se cumple:

$\sqrt[n]{x} =n.x^{n-1}.x'$

por ejemplo;

$f(x)=\sqrt[3]{x}$

$f(x)'=\frac{1}{3}.(x)^{\frac{1}{3}-1}.(x)'$

$f(x)'=\frac{1}{3}.(x)^{\frac{-2}{3}}$

Ejercicios de derivada de una raíz.

Para su mejor comprensión resolveremos algunos ejercicios:

Ejercicio 1.

$f(x)=\sqrt{x+8}$

Solución

aplicando el caso 1;

f(x)’=\frac{(x+8)’}{2\sqrt{x+8}}\]

$=\frac{(1)}{2\sqrt{x+8}}$

Ejercicio 2.

$f(x)=\sqrt[5]{x^{2}}$

Solución

aplicamos el segundo caso;

$f(x)'=\frac{1}{5}.(x^{2})^{\frac{1}{5}-1}.(x^{2})'$

$=\frac{1}{5}.(x^{2})^{\frac{-4}{5}}.(2x)$

$=\frac{1}{5\sqrt[5]{x^{8}}}.(2x)$

Ejercicio 3.

$f(x)=(\sqrt{Sen(x)}+\sqrt[3]{Cos(x)})$

Solución

$f(x)'=(\sqrt{Sen(x)}'+\sqrt[3]{Cos(x)}')$

$=\frac{Sen(x)'}{2\sqrt{Sen(x)}}+\frac{1}{3}.Cos(x)^{\frac{1}{3}-1}.(Cos(x)')$

$=\frac{Cos (x)}{2\sqrt{Sen(x)}}+\frac{1}{3}.Cos(x)^{\frac{-2}{3}}.(-Sen(x))$

$=\frac{Cos (x)}{2\sqrt{Sen(x)}}-\frac{Sen(x)}{3\sqrt[3]{Cos(x)^{2}}}$

Ejercicio 4: Derivada de una raíz cúbica:

Dada la función $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ , vamos a encontrar su derivada.

La función dada es $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ , y la variable independiente es $x$ .Para derivar funciones con raíces cúbicas, podemos aplicar la regla de la cadena. La derivada de $\sqrt[3]{u}$ es $\frac{1}{3u^{2/3}} \cdot u'$ , donde $u'$ es la derivada de $u$ .

En este caso, $u = x^2$ , entonces la derivada de $f(x)$ sería:

$f'(x) = \frac{1}{3 \cdot (x^2)^{2/3}} \cdot (2x)$

Simplificamos un poco la expresión

$f'(x) = \frac{2x}{3 \cdot x^{4/3}}$

Simplificamos un poco más

$f'(x) = \frac{2}{3x^{1/3}}$

Entonces, la derivada de $f(x)$ es $\frac{2}{3x^{1/3}}$ .

Ejercicio 5: Derivada de la raíz cuadrada con división

Dada la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2}$ , vamos a encontrar su derivada.

Solución

La función dada es $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2}$ , y la variable independiente es $x$ .Usaremos las reglas de derivación para funciones que implican raíces cuadradas y divisiones.

ecordemos que la derivada de $\sqrt{u}$ es $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ y que la derivada de $\frac{1}{u}$ es $-\frac{u'}{u^2}$ .

En este caso, $u = x$ , y la derivada de $f(x)$ será:

$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot x^2 - \sqrt{x} \cdot 2x}{x^4}$

Simplificamos

$f'(x) = \frac{x - 2x\sqrt{x}}{2x^4}$

Factorizamos

$f'(x) = \frac{x(1 - 2\sqrt{x})}{2x^4}$

Entonces, la derivada de $f(x)$ es $\frac{x(1 - 2\sqrt{x})}{2x^4}$ .