Derivadas de orden superior

Desde que iniciamos el contenido de derivadas, hemos cubierto todas sus reglas para todas las funciones: Algebraica, logarítmica, exponenciales, trigonométrica e inversas trigonométricas.

Se tienes claro dichas reglas no se te hará difícil resolver las derivadas de orden superior.

Derivadas de orden superior.

Se entiende por derivadas de orden superior a la segunda derivada de la función, es decir, se tiene una función f(x) a la cual se le calcula su derivada f(x)’ (primera derivada) y esta se deriva nuevamente f(x)», es decir, es la derivada de la función derivada.

Las funciones se pueden derivar mas de una vez, también se puede derivar la segunda derivada, todo va depende de la característica de la función, dando el nombre de derivadas de mayor orden.

Las derivadas de orden superior son utilizadas en las aplicaciones de derivadas.

Orden de las derivadas

El orden de las derivadas se denotan:

Derivada de segundo orden

    \[f''(x)=\frac{\mathrm{d}^{2} }{\mathrm{d} x^{2}}\]

Derivada de tercer orden

    \[f'''(x)=\frac{\mathrm{d}^{3} }{\mathrm{d} x^{3}}\]

Derivada de cuarto orden

    \[f''''(x)=\frac{\mathrm{d}^{4} }{\mathrm{d} x^{4}}\]

las siguientes derivadas de mayor orden, no utilizamos el apóstrofe para denotar el orden, se utiliza:

    \[\frac{\mathrm{d}^{n} }{\mathrm{d} x^{n}}f(x)\]

Ejemplo de derivadas de orden superior

Calculemos las derivadas de orden superior para esta función:

    \[f(x)=(x^{3}+x^{2}+x)\]

    \[f''(x)=(3x^{2}+2x+1)\]

    \[f'''(x)=(6x+2)\]

    \[f''''(x)=6\]

la derivada de quinto orden su resultado seria cero, siendo la última derivada que podemos calcular para la función original.

Ejercicios de derivadas de orden superior:

Ejercicio 1: Encuentra la tercera derivada de f(x) = x^2 \sin(x).

Solución 1:

Primero, encontramos la primera derivada usando la regla del producto y la regla del seno:

    \[f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)\]

Luego, aplicamos nuevamente la regla del producto y la regla del seno para encontrar la segunda derivada:

    \[f''(x) = 2\sin(x) + 4x \cos(x) - x^2 \sin(x)\]

Finalmente, aplicamos las reglas necesarias para encontrar la tercera derivada:

    \[f'''(x) = 2\cos(x) + 4\cos(x) - 2x \sin(x) - x^2 \cos(x)\]

Ejercicio 2: Encuentra la cuarta derivada de g(x) = e^x \cos(x).

Solución 2:

Usamos la regla del producto y la regla de la cadena para encontrar la primera derivada:

    \[g'(x) = e^x \cos(x) - e^x \sin(x)\]

Luego, aplicamos nuevamente la regla del producto y la regla de la cadena para encontrar la segunda derivada:

    \[g''(x) = 2e^x \sin(x)\]

Aplicamos las reglas necesarias para encontrar la tercera derivada:

    \[g'''(x) = 2e^x \cos(x) + 2e^x \sin(x)\]

Finalmente, aplicamos las reglas una vez más para encontrar la cuarta derivada:

    \[g''''(x) = 4e^x \cos(x) + 4e^x \sin(x)\]

Ejercicio 3: Encuentra la segunda derivada de h(x) = 3x^2 + 2e^x \sin(x).

Solución 3:

Encontramos la primera derivada usando la regla de las potencias, la regla de la suma y la regla de la función exponencial:

    \[h'(x) = 6x + 2e^x \sin(x) + 2e^x \cos(x)\]

Luego, aplicamos las reglas necesarias para encontrar la segunda derivada:

    \[h''(x) = 6 + 4e^x \cos(x)\]