Aplicaciones de la derivada

Cuando iniciamos el estudio de la derivada, partimos de su definición,  estando ante la presencia de la primera aplicación de esta (calculo de pendiente), siguiendo el estudio nos encontramos con el máximos y mínimos, concavidad y convexidad, que permite resolver situaciones de la vida diaria, llamadas en el calculo diferencial como aplicación de la derivada.

Aplicación de derivada

Con las derivadas podemos calcular área y volumen,  para ello aplicaremos lo aprendido en el calculo de máximo y mínimo.

Ejemplo del cálculo del volumen

Con las derivadas no solo calculamos la pendiente de una función o el comportamiento de la misma, también se utiliza en el calculo del volumen de objeto, de un tanque, de un terreno a ser removido, entre otros.

Ejercicio de calculo de volumen.

Calcular el volumen de una caja de base cuadrada, donde el perímetro de la misma es 120 cm.

Solución

El volumen de una caja es;

    \[V=Area_{base}.altura\]

por ser una base cuadrada, se dice que el largo y ancho son iguales, quedando la formula;

    \[V=x.x.y\]

    \[V=x^{2}.y\]

se dice también que el perímetro es 120 cm, por tanto;

    \[P=x+x+y\]

    \[120=2x+y\]

despejamos la variable y

    \[y= 120-2x\]

sustituimos (y) en la formula de volumen;

    \[V=x^{2}.(120-2x)\]

    \[V=120x^{2}-2x^{3}\]

partiendo de esta formula aplicamos el calculo del punto critico, como si fuéramos a evaluar si es un máximo o un mínimo;

calculamos la primera derivada;

    \[V'=120x^{2}'-2x^{3}'\]

    \[V'=240x-6x^{2}\]

igualamos a cero y despejamos los valores de X;

    \[0=240x-6x^{2}\]

    \[0=6x(40-x)\]

se obtienen dos valores para x;

x= 0      y          x= 40

conocido el valor de x, buscamos el valor de (y) utilizando la formula

    \[y= 120-2x\]

solo sustituimos el valor x=40, dado que si x vale cero quiere decir que la caja no existe, debe tener un valor diferente a cero;

    \[y= 120-2(40)\]

    \[y= 40\]

conocido el valor de X y de Y, sustituimos en la formula de volumen;

    \[V=x^{2}.y\]

    \[V=(40)^{2}.40\]

    \[V=(40)^{2}.40\]

    \[V=64000 cm^{3}\]

Ejemplo del calculo del área

La aplicación de la derivada permite conocer el área de diferentes objetos e incluso el área de una finca o carretera. Vamos a ver un ejemplo de la vida cotidiana:

 Ejercicio del calculo de área

Calcular el área de una caja cuyo volumen es de 24000 centímetro cubico.

Solución

Para calcular el área, vamos a partir que la caja tiene base cuadrada, así se tendría dos dimensiones iguales, el largo y ancho.

    \[V=Area_{base}.altura\]

por se una base cuadrada, se dice;

    \[V=x.x.y\]

    \[V=x^{2}.y\]

    \[24000=x^{2}.y\]

el área total de la caja es;

    \[At=A_{base}+4A_{lateral}+A_{tapa}\]

donde el área de la base es igual al área de la tapa;

    \[At=2A_{base}+4A_{lateral}\]

    \[At=2x.x+4x.y\]

    \[At=2x^{2}+4x.y\]

partiendo de

    \[24000=x^{2}.y\]

despejamos y;

    \[\[y=\frac{24000}{x^{2}}\]

sustituimos en la formula de área total;

    \[At=2x^{2}+4x\frac{24000}{x^{2}}\]

    \[At=2x^{2}+\frac{96000}{x}\]

derivamos la formula de área total;

    \[At'=2x^{2}'+(\frac{96000}{x})'\]

    \[At'=4x-(\frac{96000}{x^{2}})\]

igualamos a cero y despejamos x;

    \[0=4x-(\frac{96000}{x^{2}})\]

    \[x^{3}=\frac{96000}{4}\]

    \[x^{3}=24000\]

    \[x=\sqrt[3]{24000}\]

    \[x=28,8 cm}\]

conociendo el valor de x, calculamos el área total de la caja;

    \[At=2x^{2}+\frac{96000}{x}\]

    \[At=2(28,8)^{2}+\frac{96000}{28,8}\]

    \[At=4994,21cm^{2}\]