Derivada de la cosecante - Calculodiferencial.com

Para continuar con el estudio de las derivadas trigonométricas en esta oportunidad nos corresponde desarrollar la derivada de la cosecante, entendiéndose por esta razón trigonométrica como la inversa del seno.

Derivada de la cosecante.

En primer lugar vamos a definir que es derivada de la cosecante:

Se entiende por derivada de la cosecante de una la función f(x), al producto de menos la cotangente por cosecante por la derivada de la función.

Es decir:

$Csc(x)'=-Ctg(x).Csc(x)x'$

Ejercicios de derivada de la cosecante.

Apliquemos la regla anterior en algunos ejercicios:

Ejercicio 1.

Solución

$f(x)=Csc(x^{7}+x^{4})$

$=Csc(x^{7}+x^{4})'$

$=-Ctg(x^{7}+x^{4}).Csc(x^{7}+x^{4}).(x^{7}+x^{4})'$

$=-Ctg(x^{7}+x^{4}).Csc(x^{7}+x^{4}).(7x^{6}+4x^{3})$

Ejercicio 2.

Solución

$f(x)=Csc(Sen(x^{2}))$

$=-Ctg(Sen(x^{2})).Csc(Sen(x^{2}).(Sen(x^{2}))'$

$=-Ctg(Sen(x^{2})).Csc(Sen(x^{2}).(Cos(x^{2}).2x)$

$=-2x.Ctg(Sen(x^{2})).Csc(Sen(x^{2}).(Cos(x^{2}))$

Ejercicio 3.

Solución

$f(x)=(Ctg^{2}(x)+1)$

Para derivar podemos aplicar la regla de la suma ó aplicar la identidad que caracteriza a esta relación trigonométrica;

apliquemos la identidad;

$Ctg^{2}(x)+1=Csc^{2}(x)$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(Ctg^{2}(x)+1)=Csc^{2}(x)$

$=Csc^{2}(x)'$

aplicando la regla de la cadena

$=2Csc (x).Csc (x)'$

$=2Csc (x).(-Ctg(x).Csc(x))$

$=-2Csc^{2} (x).Ctg(x)$