Derivadas exponenciales

Hasta el momento hemos cubierto gran parte de las derivadas para diversas funciones, quedando por explicar las derivadas exponenciales.

Derivadas exponenciales.

Debemos aprender primero las reglas para las derivadas exponenciales, las cuales las encuentras en el formulario de derivada, registrándose  dos tipos de casos.

Casos de derivadas exponenciales.

1.- Derivada de la función exponencial

    \[f(x)=e^{f(x)}\]

La derivada de una función exponencial e^{f(x)}es igual a e^{f(x)} por la derivada de la función f(x).

    \[e^{x}'=e^{x}.x'\]

2.- Derivada de la función de base a

    \[f(x)=a^{f(x)}\]

    \[a^{x}'=a^{x}.x'Ln(a)\]

donde (a) es una constante

3.- Derivada de la función donde la base y el exponente son funciones

    \[f(x)=u^{f(x)}\]

    \[u^{x}'=u^{x-1}(x.u'+u.x'Ln(u))\]

donde (u) y (x) son funciones.

Ejercicios de derivadas de funciones exponenciales

Calcular la derivadas de las siguientes funciones:

Ejercicio 1.

    \[f(x)=e^{x^{4}+5}=\]

Solución

    \[f(x)'=e^{x^{4}+5}.(x^{4}+5)'\]

    \[=e^{x^{4}+5}.(4x^{3})\]

Ejercicio 2.

    \[f(x)=8^{x+9}\]

Solución

    \[f(x)'=8^{x+9}.(x+9)'Ln(8)\]

    \[=8^{x+9}.(1)Ln(8)\]

    \[=8^{x+9}.Ln(8)\]

[/solución]

Ejercicio 3.

    \[f(x)=x^{x^{4}}\]

Solución

    \[f'(x)'=x^{x^{4}-1}(x^{4}(x)'+x.(x^{4})'Ln(x))\]

    \[=x^{x^{4}-1}(x^{4}.(1)+x.(4x^{3})Ln(x))\]

    \[=x^{x^{4}-1}(x^{4}+(4x^{4})Ln(x))\]