Derivada de una constante por una función (con ejercicios)

Derivada de una constante por una funcion

Volviendo a la definición de derivada, cuando una constante multiplica una función o simplemente multiplica la variable de esta, modifica de manera directa la forma en que esta crece o decrece, lo cual significa, que debemos considerar dicha constante al momento de calcular la derivada.

Para calcular la derivada de una constante por una función basta con «sacar» la constante y multiplicarla con la derivada de la función.

Fórmula:

$\frac{d}{dx}\left ( k.f(x)\right )=k.f'(x)$

Veamos un ejemplo sencillo:

$\frac{d}{dx}\left ( 3.x\right )=3.x'=3.1=3$

Ejercicios de derivadas de una constante por una función

Calcula las derivadas de cada una de las siguientes funciones:

$1. f(x)=8x$

Solución

Veamos la solución paso a paso:

$f'(x)=(8x)'$

Aplicando la regla que acabamos de ver nos quedaría:

$f'(x)=8x'$

Y como sabemos por la regla de la derivada de la función identidad que la derivada de «x» es 1, entonces:

$f'(x)=8.1$

Finalmente:

$f'(x)=8$

$2.f(x)=2(x+3)$

Solución

Veamos la solución paso a paso:

$f'(x)=(2(x+3))'$

Aplicando la regla que acabamos de ver nos quedaría:

$f'(x)=2(x+3)'$

Aplicando la propiedad de la derivada de la suma

$f'(x)=2(x'+3')$

Como en el ejercicio de anterior, la derivada de «x» es 1 y además por la regla de la derivada de una constante, la derivada de «3» es «0», entonces:

$f'(x)=2(1+0)$

Resolviendo nos queda:

$f'(x)=2. 1=2$

Nota que en este caso, la primera constante se deriva aplicando la regla que estamos tratando en esta publicación puesto que se trata de un múltiplo d ela función, mientras que la segunda es un término independiente y se deriva aplicando la regla de la derivada de una función constante.

$3.f(x)=\frac{x+1}{3}$

Solución

En este caso el «3» aunque no multiplica la función sino que la divide, también podemos interpretarla de este modo:

$f(x)=\frac{1}{3}(x+1)$

Así que perfectamente podremos calcular la derivada aplicando esta regla:

$f'(x)=(\frac{1}{3}(x+1))'$

Aplicando la propiedad de la derivada de una constante por una función, nos queda:

$f'(x)=\frac{1}{3}(x+1)'$

Aplicando la propiedad de la derivada de la suma

$f'(x)=\frac{1}{3}(x'+1')$

Como en el ejercicio de anterior, la derivada de «x» es 1 y además por la regla de la derivada de una constante, la derivada de «1» es «0», entonces:

$f'(x)=\frac{1}{3}(1+0)$

Resolviendo nos queda:

$f'(x)=\frac{1}{3}.1=\frac{1}{3}$

$4.f(x)=\frac{3x+6}{5}$

Solución

Nuevamente podemos interpretar este caso como el del ejercicio anterior, así que la función nos quedaría:

$f(x)=\frac{1}{5}(3x+6)$

Deriando:

$f'(x)=(\frac{1}{5}(3x+6))'$

Aplicando la regla derivada de una constante por una función:

$f'(x)=\frac{1}{5}(3x+6)'$

Derivando la suma:

$f'(x)=\frac{1}{5}((3x)'+6')$

Nuevamente aplicamos la propiedad de la constante por la función y la derivada de «6» es «0», nos queda:

$f'(x)=\frac{1}{5}(3x'+0)$

Como la derivada de «x» es 1, entonces:

$f'(x)=\frac{1}{5}(3.1+0)$

Resolviendo:

$f'(x)=\frac{1}{5}.3=\frac{3}{5}$

Ya con esto espero haber dejado claro lo concerniente no sólo a esta regla sino también a la regla de la derivada de una función constante que es una confusión que suelen presentar mis alumnos en clase, recuerda que si te queda alguna duda, puedes dejarmela en los comentarios y con gusto te la claro, siempre que la respuesta a esa duda no sea tu tarea eh.

Derivada de una constante por una función

Derivada de una constante por una funcion

Fórmula:

Ejercicios de derivadas de una constante por una función

Solución

Solución

Solución

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