Derivada de un cociente

La división de una función por otra es una operación común en matemáticas y puede surgir en una variedad de contextos, desde el movimiento de partículas hasta la economía. Comprender cómo derivar un cociente es esencial para resolver problemas en estos y otros campos.

Regla de la derivada de un cociente:

La derivada de un cociente, división o funciones fraccionarias es igual a la derivada del numerador por del denominador din derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador

Truco: Memorizar la regla de la derivada de un cociente de funciones es mucho más fácil si ya memorizaste la regla para la derivada del producto, nota que en la parte de arriba (la del numerador) quedará casi igual que el caso de la derivada del producto con la diferencia de que los productos no se suma sino se restan, ya luego te tocará agregar el denominador que es el mismo pero elevado al cuadrado.

Creo que esto lo verás mejor en la fórmula.

Fórmula de la derivada del cociente o división de funciones u/v

Siendo f(x) una función del tipo: f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} su derivada se calcula usando la fórmula:

    \[f'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}\]

Aunque una ocasionalmente se usa esta fórmula de la siguiente manera:

    \[\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'.v-u.v'}{v^{2}}\]

Veamos un ejemplo sencillo, calculemos la derivada de la función:

    \[f(x)=\frac{x}{Sen x}\]

Derivamos de ambos lados:

    \[f'(x)=\left (\frac{x}{Sen x}\right )'\]

Aplicamos la regla para la derivada de un cociente:

    \[f'(x)=\frac{x'.Sen x - x (Sen x)'}{Sen^{2} x}\]

Derivamos «x» y «Sen x» en el numerador:

    \[f'(x)=\frac{1.Sen x - xCos x}{Sen^{2} x}\]

Nos queda entonces:

    \[f'(x)=\frac{Sen x - xCos x}{Sen^{2} x}\]

Podríamos hacer una transformación acá pero para efectos pedagógicos lo dejaremos tal cual.

Ejercicios resueltos de derivadas de un cociente o franción de funciones:

Calcular las derivadas de cada una de las siguientes funciones:

Ejercicio 1. f(x)=\frac{3x-2}{2x-3}

Solución

Derivamos de ambos lados:

    \[f'(x)=\left ( \frac{3x-2}{2x-3}\right )'\]

Aplicamos la regla para la derivada de un cociente:

    \[f'(x)=\frac{(3x-2)'(2x-3)-(3x-2)(2x-3)'}{(2x-3)^{2}}\]

Aplicamos las reglas de la derivada de una suma, la regla de la derivada de una constante por una función y la derivada de una constante:

    \[f'(x)=\frac{(3.1-0)(2x-3)-(3x-2)(2.1-0)}{(2x-3)^{2}}\]

Operamos y agrupamos términos semejantes:

    \[f'(x)=\frac{3(2x-3)-(3x-2).2}{(2x-3)^{2}}\]

Aplicamos propiedad distributiva:

    \[f'(x)=\frac{6x-9-(6x-4)}{(2x-3)^{2}}\]

Agrupamos términos semejantes:

    \[f'(x)=\frac{-5}{(2x-3)^{2}}\]

Ejercicio 2. f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}

Solución


Derivamos de ambos lados:

    \[f'(x) = \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right)'\]

Aplicamos la regla para la derivada de un cociente:

    \[f'(x) = \frac{(x^2 + 1)'(x) - (x^2 + 1)(x)'}{x^2}\]

Aplicamos la regla de la derivada de una suma y la derivada de una constante por una función:

    \[f'(x) = \frac{(2x)(x) - (x^2 + 1)(1)}{x^2}\]

Simplificamos términos:

    \[f'(x) = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2}\]

Agrupamos términos semejantes:

    \[f'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}\]

Ejercicio 3. f(x) = \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{x^3 - x}

Solución


Derivamos de ambos lados:

    \[f'(x) = \left( \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{x^3 - x} \right)'\]

Aplicamos la regla para la derivada de un cociente:

    \[f'(x) = \frac{(x^4 - 3x^2 + 2)'(x^3 - x) - (x^4 - 3x^2 + 2)(x^3 - x)'}{(x^3 - x)^2}\]

Aplicamos la regla de la derivada de una suma y la derivada de una constante por una función:

    \[f(x) = \frac{(4x^3 - 6x)(x^3 - x) - (x^4 - 3x^2 + 2)(3x^2 - 1)}{(x^3 - x)^2}\]

Aplicamos la propiedad distributiva en el numerador:

    \[f'(x) = \frac{4x^6-4x^4-6x^4+6x^2- (3x^6-x^4-9x^4+3x^2+6x^2-2)}{(x^3 - x)^2}\]

Eliminamos los paréntesis restantes:

    \[f'(x) = \frac{4x^6-4x^4-6x^4+6x^2-3x^6+x^4+9x^4-3x^2-6x^2+2)}{(x^3 - x)^2}\]

Agrupamos términos semejantes:

    \[f'(x) = \frac{x^6-3x^2+2}{(x^3 - x)^2}\]

Ejercicio 4. f(x)=\frac{x^{3}+6}{3x^{2}}

Solución

Derivamos de ambos lados:

    \[f'(x)=\left ( \frac{x^{3}+6}{3x^{2}}\right )'\]

Aplicamos la regla de la derivada para un cociente:

    \[f'(x)=\frac{(x^{3}+6)'.(3x^{2})-(x^{3}+6).(3x^{2})'}{(3x^{2})^{2}}\]

Calculamos las dos derivadas aplicando la regla para la suma y la de las potencias:

    \[f'(x)=\frac{(3x^{3-1}).(3x^{2})-(x^{3}+6).(3.2x^{2-1})}{(3x^{2})^{2}}\]

Operando:

    \[f'(x)=\frac{(3x^{2}).(3x^{2})-(x^{3}+6).(6x)}{9x^{4}}\]

Usando propiedades de potencias y aplicando propiedad distributiva:

    \[f'(x)=\frac{9x^{4}-(x^{3}.6x+6.6x)}{9x^{4}}\]

    \[f'(x)=\frac{9x^{4}-(6x^{4}+36x)}{9x^{4}}\]

    \[f'(x)=\frac{9x^{4}-6x^{4}-36x}{9x^{4}}\]

Agrupando términos semejantes:

    \[f'(x)=\frac{3x^{4}-36x}{9x^{4}}\]

Podemos sacar factor común 3x y simplificar con el denominador:

    \[f'(x)=\frac{3x(x^{3}-12)}{9x^{4}}\]

    \[f'(x)=\frac{x^{3}-12}{3x^{3}}\]

Como notarás, aquí ya el nivel va aumentando un poco y se precisa un buen manejo de las propiedades básicas de multiplicaciones, potencias y como verás más adelante a lo largo del curso, el manejo de identidades triginométricas.

Ejercicio 5. f(x)=\frac{x(x^{2}-1)}{x+3}

Solución

Lo haré paso por paso porque es bastante fácil perderse entre tantas derivadas, primero derivamos de ambos lados:

    \[f'(x)=\left ( \frac{x(x^{2}-1)}{x+3}\right )'\]

Aplicamos la regla del cociente:

    \[f'(x)=\frac{(x(x^{2}-1))'(x+3)-x(x^{2}-1)(x+3)'}{(x+3)^{2}}\]

En el primer término tenemos la derivada de un producto y en el segundo la derivada de una suma:

    \[f'(x)=\frac{(x'(x^{2}-1)+x.(x^{2}-1)')(x+3)-x(x^{2}-1)(x'+3')}{(x+3)^{2}}\]

Ahora aplicamos la regla de la derivada de x, la regla de una suma luego la derivada de x nuevamente y finalmente la derivada de una constante:

    \[f'(x)=\frac{(1.(x^{2}-1)+x.((x^{2})'-1')(x+3)-x(x^{2}-1)(1+0)}{(x+3)^{2}}\]

Vamos operando y aplicamos la regla de la derivada de la potencia y luego la constante que nos queda:

    \[f'(x)=\frac{((x^{2}-1)+x.(2x^{2-1}-0)(x+3)-x(x^{2}-1).1}{(x+3)^{2}}\]

    \[f'(x)=\frac{(x^{2}-1+x.2x)(x+3)-x(x^{2}-1)}{(x+3)^{2}}\]

    \[f'(x)=\frac{(x^{2}-1+2x^{2})(x+3)-x(x^{2}-1)}{(x+3)^{2}}\]

Agrupamos términos semejantes:

    \[f'(x)=\frac{(3x^{2}-1)(x+3)-x(x^{2}-1)}{(x+3)^{2}}\]

Aplicamos propiedad distributiva:

    \[f'(x)=\frac{3x^{2}.x-1.x+3x^{2}.3-1.3-x.x^{2}+x.1)}{(x+3)^{2}}\]

Operamos aplicando propiedades de potencias:

    \[f'(x)=\frac{3x^{3}-x+9x^{2}-3-x^{3}+x}{(x+3)^{2}}\]

Agrupando términos semejantes y ordenando nos queda:

    \[f'(x)=\frac{2x^{3}+9x^{2}-3}{(x+3)^{2}}\]

Ejercicio 6. f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 3x + 2}

Solución


Derivamos de ambos lados:

    \[f'(x) = \left( \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 3x + 2} \right)'\]

Aplicamos la regla para la derivada de un cociente:

    \[f'(x) = \frac{(\sqrt{x})'(x^2 + 3x + 2) - (\sqrt{x})(x^2 + 3x + 2)'}{(x^2 + 3x + 2)^2}\]

Aplicamos la regla de la derivada de la raíz cuadrada y la derivada de una constante por una función:

    \[f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x^2 + 3x + 2) - \sqrt{x}(2x + 3)}{(x^2 + 3x + 2)^2}\]

Sumamos la fracción polinómica que encontramos en el numerador:

    \[f'(x) = \frac{\frac{(x^2 + 3x + 2) - 2\sqrt{x}.\sqrt{x}(2x + 3)1}{2\sqrt{x}}}{(x^2 + 3x + 2)^2}\]

Operamos y simplificamos términos:

    \[f'(x) = \frac{\frac{x^2 + 3x + 2 - 2x^2 + 6x}{2\sqrt{x}}}{(x^2 + 3x + 2)^2}\]

Dividimos la fracción en el numerador con la del denominador y agrupamos términos semejantes:

    \[f'(x) = \frac{x^2 + 3x + 2 - 2x^2 + 6x}{2\sqrt{x}(x^2 + 3x + 2)^2}\]

    \[f'(x) = \frac{-x^2 + 9x + 2}{2\sqrt{x}(x^2 + 3x + 2)^2}\]

Ejercicio 7. f(x) = \frac{\ln(x^2)}{\sqrt{x} + x}

Solución


Derivamos de ambos lados:

    \[f'(x) = \left( \frac{\ln(x^2)}{\sqrt{x} + x} \right)'\]

Aplicamos la regla para la derivada de un cociente:

    \[f'(x) = \frac{(\ln(x^2))'(\sqrt{x} + x) - \ln(x^2)(\sqrt{x} + x)'}{(\sqrt{x} + x)^2}\]

Aplicamos la regla del logaritmo natural y la regla de la suma:

    \[f'(x) = \frac{\frac{2x}{x^2}(\sqrt{x} + x) - \ln(x^2)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}} + 1\right)}{(\sqrt{x} + x)^2}\]

Simplificamos términos:

    \[f'(x) = \frac{\frac{2(\sqrt{x} + x)}{x} - \ln(x^2)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}} + 1\right)}{(\sqrt{x} + x)^2}\]

Ejercicio 8. f(x) = \frac{\cos(x)}{x^3 + x^2}

Solución


Derivamos de ambos lados:

    \[f'(x) = \left( \frac{\cos(x)}{x^3 + x^2} \right)'\]

Aplicamos la regla para la derivada de un cociente:

    \[f'(x) = \frac{(\cos(x))'(x^3 + x^2) - \cos(x)(x^3 + x^2)'}{(x^3 + x^2)^2}\]

Aplicamos la regla de la derivada del coseno y la derivada de una constante por una función:

    \[f'(x) = \frac{-\sin(x)(x^3 + x^2) - \cos(x)(3x^2 + 2x)}{(x^3 + x^2)^2}\]

Ya con esto espero haber dejado bastante claro lo concerniente a esta regla pero como siempre, dejo abierto los comentarios por si tienes alguna inquietud y recuerda que puedes consultar las publicaciones relacionadas a otros temas como:

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