Derivada de la suma o diferencia

La derivada de una suma es la suma de las derivadas de cada término y lo mismo sucede con la resta o diferencia.

Esto significa que si tienes una función que es la suma o resta de dos o más términos, entonces puedes calcular la derivada de esa función calculando la derivada de cada término por separado. Es decir:

    \[\frac{d}{dx}(f(x)\pm g(x))=\frac{d}{dx}(f(x))\pm \frac{d}{dx}(g(x))\]

Nota: en el que en el caso de la resta o diferencia, tendríamos que hacer una resta de las derivadas.

Ejercicios resueltos de la derivada de una suma o diferencia de funciones:

Vamos a calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:

    \[1.f(x)=x+6 \]

Solución

Vamos paso por paso:

    \[f'(x)=(x+6)' \]

Aplicamos la regla de la derivada de la suma que dice que la derivada de la suma es la suma de las derivadas:

    \[f'(x)=x'+6' \]

Ahora tenemos la derivada de la variable independiente «x» que es 1 y la derivada de la constante «6» que es «0», así nos queda:

    \[f'(x)=1+0 \]

Finalmente:

    \[f'(x)=1 \]

 

    \[2. g(x)=8x+\sqrt{2}\]

Solución

Derivamos en ambos miembros de la igualdad:

    \[g'(x)=(8x+\sqrt{2})'\]

Aplicamos la regla para la derivada de la suma:

    \[g'(x)=(8x)'+(\sqrt{2})'\]

Derivamos el primer término que es una constante por una variable y en el segundo término no debes confundirte con el signo de la raíz, esto sigue siendo igual una constante por lo que la derivamos con la regla de la derivada de constantes y nos da «0», de este modo nos queda:

    \[g'(x)=8.x'+0\]

Luego la derivada de «x» es 1, como te lo expliqué en el ejercicio anterior, por lo que resulta:

    \[g'(x)=8.1+0\]

Resolviendo las operaciones:

    \[g'(x)=8\]

 

    \[3. h(x)=\frac{2x-7}{3}\]

Solución

Derivamos en ambos lados:

    \[h'(x)=(\frac{2x-7}{3})'\]

Aunque pudiéramos interpretar la función como un cociente (una división), en realidad el número de abajo es una constante por lo que la función podríamos escribirla de este modo:

    \[h'(x)=(\frac{1}{3}.(2x-7))'\]

Así tendríamos la derivada de la constante 1/3 por la función, al aplicar la regla «sacamos» la constante y derivamos la función que nos queda:

    \[h'(x)=\frac{1}{3}.(2x-7)'\]

Ahora aplicamos la regla de la derivada de la resta que es la misma que la de la suma:

    \[h'(x)=\frac{1}{3}.((2x)'-7')\]

Luego en «2x» tenemos una constante por una función y en «7» tenemos la derivada de una constante:

    \[h'(x)=\frac{1}{3}.(2x'-0)\]

Luego la derivada de «x» sabemos que es 1, de lo que resulta:

    \[h'(x)=\frac{1}{3}.(2.1-0)\]

Como ya derivamos todo, nos resta resolver las operaciones:

    \[h'(x)=\frac{1}{3}.2=\frac{2}{3}\]

 

    \[4.k(x)=x^{2}-8x+3 \]

Solución

Derivamos de ambos lados:

    \[k'(x)=(x^{2}-8x+3)' \]

En este caso tenemos 3 términos en la que perfectamente se puede aplicar la regla para la suma y la diferencia

    \[k'(x)=(x^{2})'-(8x)'+3' \]

El primer término es una potencia, en el segundo una constante por la variable y en el tercero una constante independiente, aplicando la regla para cada caso:

    \[k'(x)=2x^{2-1}-8x'+0 \]

Resolvemos algunas de las operaciones y derivamos la «x» que nos falta:

    \[k'(x)=2x^{1}-8.1 \]

Resolvemos y simplificamos:

    \[k'(x)=2x-8 \]

Ya con estro creo que queda todo claro en relación a la derivada de una suma, si igual te queda alguna duda, puedes dejarmela en los comentarios y te la aclaro a medida que el tiempo me lo permita. Recuerda que en esta web puedes consultar otros temas como:

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