Interpretacion geometrica de la derivada

Geométricamente, la derivada de una función en un punto representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

Esto lo podemos deducir fácilmente partiendo de la definición de derivada en forma de límite:

$f'(a)=\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$

Teniendo en cuenta que la ecuación de la pendiente de una recta es:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{{x_{2}-x_{1}}}$

Donde y₂-y₁; representa la variación en «y» mientras que x₂-x₁; representa la variación en el eje «x»

Notemos entonces que ambas ecuaciones expresan esa variación tanto en el eje y como en el eje x, sólo que el caso de la derivada indica esa variación cuando el valor de la diferencia es tan ínfimo que tiende a cero, por lo que el valor de la derivada en un punto equivaldría a algo más o menos como esto:

interpretacion geometrica derivadas

Donde podemos apreciar que a medida que el valor de «h» decrece, la recta tiende a acercarse a la recta tangente en dicho punto. Con esto podemos deducir que el valor de la derivada de una función en un punto, indica el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

Otras interpretaciones gráficas de las derivadas

Velocidad y Derivadas en el Espacio

La interpretación geométrica de la derivada también es evidente cuando consideramos funciones de dos variables, como $f(x, y)$ . Imaginemos que $f(x, y)$ describe la altura de una superficie en el espacio en función de las coordenadas $x$ y $y$ .

Superficie Tridimensional

En este caso, la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$ representa la pendiente de la superficie en la dirección $x$ en un punto dado $(x_0, y_0)$ . Similarmente, $\frac{\partial f}{\partial y}$ representa la pendiente en la dirección $y$ .

Interpretación

Cuando nos movemos en la dirección $x$ en el punto $(x_0, y_0)$ , la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$ nos da la pendiente de la curva resultante en esa dirección. Esto se traduce en la tasa de cambio instantánea de la función en la dirección $x$ .

Curvatura y Segundas Derivadas

La interpretación geométrica se vuelve aún más rica al considerar las segundas derivadas. Si $f''(x_0)$ es positiva, la curva de la función en $x_0$ se curva hacia arriba, indicando un mínimo relativo. Si $f''(x_0)$ es negativa, la curva se curva hacia abajo, indicando un máximo relativo.

La interpretación geométrica de la derivada nos proporciona una visión intuitiva de cómo las funciones cambian en términos de tasas de cambio y pendientes. Desde la pendiente de una recta tangente hasta la curvatura de una superficie en el espacio, el cálculo diferencial y la geometría están intrínsecamente entrelazados. Esta conexión profunda no solo mejora nuestra comprensión matemática, sino que también revela la belleza intrínseca de cómo las funciones evolucionan y se comportan en el espacio. El cálculo diferencial, lejos de ser solo un conjunto de reglas abstractas, se convierte en una herramienta que nos permite explorar y entender la dinámica del mundo que nos rodea.