Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Hasta el momento hemos cubierto las expectativas sobre la resolución de derivadas trigonométricas, solo falta para cerrar este tema ampliar conocimientos sobre sus derivadas inversas.

Derivadas de las inversas trigonométricas

Cuando nos referimos a la inversa de una función trigonométrica, la denotamos con el prefijo arco (arcoseno, arcocoseno, arcotangente) o simplemente elevamos la razón a la menos uno.

Dentro de las reglas a utilizar en este tipo de derivadas, se encuentran  las estudiadas en derivadas algebraicas.

Tipos de derivadas de funciones trigonométricas inversas

Para derivar funciones trigonométricas inversas, debemos conocer que:

1.- Derivada de la función arcoseno

    \[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}Sen^{-1}(x)=\frac{x'}{\sqrt{1-x^{2}}}\]

2.- Derivada de la función arcocoseno

    \[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}Cos^{-1}(x)=\frac{-x'}{\sqrt{1-x^{2}}}\]

3.- Derivada de la función arcotangente

    \[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}Tag^{-1}(x)=\frac{x'}{1+x^{2}}\]

4.- Derivada de la función arcocotangente

    \[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}Ctg^{-1}(x)=\frac{-x'}{1+x^{2}}\]

5.- Derivada de la función arcosecante

    \[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}Sec^{-1}(x)=\frac{x'}{x\sqrt{x^{2}-1}}\]

6.- Derivada de la función arcocosecante

    \[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}Csc^{-1}(x)=\frac{-x'}{x\sqrt{x^{2}-1}}\]

Ejercicios de derivadas inversas trigonométricas

Resolver las siguientes derivadas inversas trigonométricas:

Ejercicio 1.

    \[f(x)=Cos^{-1}(x^{2}+5)\]

Solución

    \[f(x)'=\frac{-(x^{2}+5)'}{\sqrt{1-(x^{2}+5)^{2}}}\]

    \[=\frac{-2x}{\sqrt{1-(x^{2}+5)^{2}}}\]

Ejercicio 2.

    \[f(x)=Tag^{-1}(Sen(x))\]

Solución

    \[f(x)=\frac{Sen(x)'}{1+Sen^{2}(x)}\]

    \[=\frac{Cos(x)}{1+Sen^{2}(x)}\]

Ejercicio 3.

    \[f(x)=Csc^{-1}(x^{3})\]

Solución

    \[f(x)'=\frac{-(x^{3})'}{x\sqrt{(x^{3})^{2}-1}}\]

    \[=\frac{-3x^{2}}{x\sqrt{x^{6}-1}}\]

    \[=\frac{-3x}{\sqrt{x^{6}-1}}\]