Derivada de un producto

La derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera derivada función por la segunda sin derivar mas la primera por derivar por la segunda derivada

Fórmula de la derivada de un producto:

    \[(U.V)'=U'.V+U.V'\]

Donde U y V son funciones de la misma variable.

Veamos un ejemplo sencillo, calculemos la derivada de la función:

    \[f(x)=x^{3}(x+1)\]

Derivando de ambos lados:

    \[f'(x)=((x^{3})'(x+1)+x^{3}(x+1))'\]

Derivamos x^3 en el primer término y x+1 en el segundo aplicando las propiedades de derivadas de potencias en el primer caso y la derivada  de una suma en el segundo:

    \[f'(x)=3x^{3-1}'(x+1)+x^{3}(x'+1')\]

Derivamos «x» y «1» y resolvemos la resta del exponente del primer término:

    \[f'(x)=3x^{2}(x+1)+x^{3}(1+0)\]

Efectuamos las operaciones y aplicamos propiedad distributiva donde corresponda:

    \[f'(x)=3x^{2}(x+1)+x^{3}.1\]

    \[f'(x)=3x^{2}.x+3x^{2}+x^{3}\]

Simplificamos un poco aplicando propiedades de potencias y agrupando términos semejantes:

    \[f'(x)=3x^{3}+3x^{2}+x^{3}\]

    \[f'(x)=4x^{3}+3x^{2}\]

Ejercicios resueltos de la derivada de un producto de funciones

Calcularemos la derivada de cada una de las siguientes funciones:

    \[1.f(x)=(2x^{3}+3x)(5x+6)\]

Solución

Derivamos de ambos lados:

    \[f'(x)=(2x^{3}+3x)(5x+6)'\]

Aplicamos la propiedad de derivada de un producto de funciones:

    \[f'(x)=(2x^{3}+3x)'(5x+6)+(2x^{3}+3x)(5x+6)'\]

Calculamos las derivadas en el primer y segundo término aplicando la regla para derivadas de sumas de funciones:

    \[f'(x)=((2x^{3})'+(3x)')(5x+6)+(2x^{3}+3x)((5x)'+(6)')\]

Aplicamos las reglas de derivada de una potencia, derivada de una constante por la variable y derivada de una constante según corresponda:

    \[f'(x)=(2.3x^{3-1}+3x')(5x+6)+(2x^{3}+3x)(5x'+0)\]

Calculamos las derivadas restantes con la regla de derivada para la función identidad y resolvemos las operaciones que tenemos:

    \[f'(x)=(6x^{2}+3.1)(5x+6)+(2x^{3}+3x)(5.1)\]

    \[f'(x)=(6x^{2}+3)(5x+6)+(2x^{3}+3x)5\]

Aunque hasta este punto ya puede decirse que obtuvimos la derivada, en la práctica, lo más común es tratar de simplificar este resultado con el fin de que quede más manejable para su uso posterior. Para ello, aplicaremos la propiedad distributiva de la adición respecto a la suma en ambos términos.

    \[f'(x)=(6x^{2}+3).5x+(6x^{2}+3).6+5.2x^{3}+5.3x\]

    \[f'(x)=5x.6x^{2}+5x.3+6.6x^{2}+6.3+10x^{3}+15x\]

    \[f'(x)=30x^{3}+15x+36x^{2}+18+10x^{3}+15x\]

Agrupamos términos semejantes:

    \[f'(x)=40x^{3}+36x^{2}+30x+18\]

 

    \[2.f(x)=x.Cos x\]

Solución

Derivamos de ambos laldos:

    \[f'(x)=(x.Cos x)'\]

Aplicamos la regla de la derivada de un producto:

    \[f'(x)=x'.Cos x+x.(Cos x)'\]

Aplicamos la regla de la derivada de x y la derivada del coseno de x.

    \[f'(x)=1.Cos x+x.(-Sen x)\]

Reordenamos:

    \[f'(x)=Cos x-x.Sen x\]

    \[3. h(x)=x^{3}.Cos x\]

Solución

Derivamos de ambos lados:

    \[h'(x)=(x^{3}.Cos x)'\]

Aplicamos la regla de la derivada del producto de funciones:

    \[h'(x)=(x^{3})'.Cos x+x^{3}.(Cos x)'\]

Calculamos la derivada de la potencia del primer término y la derivada del coseno en el segundo:

    \[h'(x)=3x^{3-1}.Cos x+x^{3}.(-Sen x)\]

Reordenamos y nos queda:

    \[h'(x)=3x^{2}.Cos xx^{3}.Sen x\]

 

    \[4. g(x)=3x.Sen x-2Cos x\]

Solución

Comenzamos derivando de ambos lados:

    \[g'(x)=(3x.Sen x-2Cos x)'\]

La primera regla que aplicaremos es la de la derivada de una resta o diferencia de funciones:

    \[g'(x)=(3x.Sen x)'-(2Cos x)'\]

En el primer término aplicamos la regla de la derivada de un producto y en el segunda la del producto de una constante por una función:

    \[g'(x)=(3x)'.Sen x+3x.(Sen x)'-2(Cos x)'\]

Ahora tenemos 3 términos, en el primero tenemos la derivada de una constante por una función, en el segundo la derivada del seno de x y en el tercero la derivada de la función coseno de x.

    \[g'(x)=3x'.Sen x+3xCos x-2(-Sen x)\]

Calculamos la deerivada que nos resta con la regla de la derivada de x y reordenamos:

    \[g'(x)=3.1.Sen x+3xCos x+2Sen x\]

Finalmente, operamos y agrupamos términos semejantes:

    \[g'(x)=3Sen x+3xCos x+2Sen x\]

    \[g'(x)=5Sen x+3xCos x\]

Es todo por esta publicación y aunque espero haber dejado todo claro, igual te dejo abierto los comentarios por si tienes alguna duda e incluso por si ves algún error. En todos los casos he dejado enlazadas las publicaciones relacionadas a las reglas que ibamos aplicando pero aquí puedes consultar algunas otras para que profundices más en detalle sobre estos temas:

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