Derivada del arcoseno

La derivada del arcoseno es un concepto fundamental en cálculo que nos permite analizar cómo cambia una función inversa del seno en relación a su variable independiente. Esta herramienta matemática es crucial para resolver problemas de optimización, encontrar tasas de cambio instantáneas y comprender el comportamiento de funciones trigonométricas inversas.

Formula de la derivada del arcoseno:

La fórmula de la derivada del arcoseno es:

    \[ \frac{d}{dx}(\arcsin(x)) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]

Para calcular la derivada utilizando esta fórmula, seguimos los siguientes pasos:

    Dado que la función inversa del seno es Arcsin(x), escribimos Arcsin(x) como nuestra función original.
  1. Aplicamos la regla de la cadena, que establece que la derivada de una función compuesta es el producto de la derivada de la función exterior por la derivada de la función interior.
  2. Derivamos la función interior, que en este caso es (x), obteniendo

        \[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \]

  3. Derivamos la función exterior, que es Arcsin(x) , utilizando la fórmula mencionada anteriormente:

        \[ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]

  4. Multiplicamos la derivada de la función exterior por la derivada de la función interior para obtener la derivada total.

Por lo tanto, la derivada del arcoseno se calcula aplicando la fórmula:

    \[ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

a la función original.

Ejercicios resueltos sobre la derivada del arcoseno:

Ejercicio 1:

Dado

    \[ y = \arcsin(2x) \]

vamos a calcular su derivada.

Solución

Paso 1: Identificamos la función original, que es

    \[ y = \arcsin(2x) \]

Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena. La derivada de la función exterior

    \[ \arcsin(u)) es (\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \]

y la derivada de la función interior es:

    \[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \]

Paso 3: Multiplicamos la derivada de la función exterior por la derivada de la función interior:

    \[ \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2 \]

Por lo tanto, la derivada de

    \[ y = \arcsin(2x) \]

es:

    \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}} \]

Ejercicio 2:

Dado

    \[y = \arcsin(\sqrt{x})\]

  vamos a calcular su derivada.

Solución

Paso 1: Identificamos la función original, que es

    \[y = \arcsin(\sqrt{x})\]

Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena. La derivada de la función exterior

    \[\arcsin(u)\]

  es

    \[\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\]

Y la derivada de la función interior es

    \[\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

Paso 3: Multiplicamos la derivada de la función exterior por la derivada de la función interior:

    \[\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

Simplificando la expresión, obtenemos:

    \[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}\]


Estos son los pasos para calcular la derivada en cada uno de los ejercicios. Recuerda que la regla de la cadena es fundamental para derivar funciones compuestas como el arcoseno.