Derivada de la arcotangente - Calculodiferencial.com

La función arcotangente, denotada como $\arctan(x)$ , es una función trigonométrica inversa que desempeña un papel crucial en el cálculo y diversas aplicaciones científicas y técnicas. En esta publicación, exploraremos en detalle el proceso para calcular la derivada de la función arcotangente. Comprender la derivada de esta función es fundamental para comprender el comportamiento de las funciones trigonométricas inversas en el contexto del cálculo diferencial, y es de gran importancia en campos como la física, la ingeniería y la inteligencia artificial.

Derivada de la función arcotangente de x:

La derivada de la función arcotangente $\arctan(x)$ con respecto a (x) se puede expresar de la siguiente manera:

$\frac{d}{dx}(\arctan(x)) = \frac{1}{1+x^2}$

Esta es la fórmula que nos permite calcular la derivada de la función arcotangente. Nos indica que la derivada de $\arctan(x)$ es igual a $\frac{1}{1+x^2}$ .

Ejercicios sobre la derivada de la arctang:

Ejercicio 1: Calcular la derivada de $f(x) = 3\arctan(2x)$ .

Solución: Aplicamos la regla de la cadena y la fórmula de la derivada del arcotangente:

$f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot 2$

$f'(x) = \frac{6}{1+4x^2}$

Ejercicio 2: Calcular la derivada de $g(x) = x\arctan(x) - \frac{1}{2}\arctan(x)$ .

Solución: Aplicamos la regla del producto y la fórmula de la derivada del arcotangente:

$g'(x) = x \cdot \frac{1}{1+x^2} + \arctan(x) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2}$

$g'(x) = \frac{x}{1+x^2} + \arctan(x) - \frac{1}{2(1+x^2)}$

Ejercicio 3: Calcular la derivada de $h(x) = \frac{\arctan(x)}{x}$ .

Solución: Utilizamos la regla del cociente y la fórmula de la derivada del arcotangente:

$h'(x) = \frac{x \cdot \frac{1}{1+x^2} - \arctan(x)}{x^2}$

$h'(x) = \frac{1}{x^2(1+x^2)} - \frac{\arctan(x)}{x^2}$

Ejercicio 4: Calcular la derivada de $f(x) = \arctan(2x^2 - 1)$ .

Solución: Aplicamos la regla de la cadena y la fórmula de la derivada del arcotangente:

$f'(x) = \frac{1}{1+(2x^2-1)^2} \cdot 4x$

$f'(x) = \frac{4x}{4x^4-4x^2+2}$

Demostración de la fórmula de la derivada de la arctang:

La demostración de la fórmula para la derivada de la función arcotangente $\arctan(x)$ se puede realizar utilizando la definición de la derivada como un límite. La derivada de $\arctan(x)$ con respecto a (x) se puede expresar como:

$\frac{d}{dx}(\arctan(x)) = \lim_{{h \to 0}} \frac{\arctan(x + h) - \arctan(x)}{h}$

Luego, utilizando la identidad trigonométrica $\tan(\arctan(u)) = u$ , podemos manipular la expresión para obtener:

$\frac{d}{dx}(\arctan(x)) = \lim_{{h \to 0}} \frac{\arctan(x + h) - \arctan(x)}{h} = \lim_{{h \to 0}} \frac{\arctan(x + h) - \arctan(x)}{h} \cdot \frac{1}{\frac{1}{h}}$

Aplicando la identidad trigonométrica $\tan(\arctan(u)) = u$ y realizando algunas manipulaciones algebraicas, llegamos a:

$\frac{d}{dx}(\arctan(x)) = \lim_{{h \to 0}} \frac{1}{1+(x+h)^2} \cdot \frac{1}{h}$

Finalmente, al evaluar el límite, obtenemos:

$\frac{d}{dx}(\arctan(x)) = \frac{1}{1+x^2}$