Límites laterales: Con ejercicios resueltos

Cuando definimos límite especificamos que el límite de una función F(x) es L cuando X tiende a un valor (a), pero a dicha función se le puede adjudicar valores a la variable por la derecha o por izquierda de (a), es hay donde hablamos de límites laterales.

Límites laterales.

Nos referimos a limites laterales cuando se evalúa la función F(x) por ambos lado de un punto próximo a X, por tanto se dice que;

El límite de una función F(x) por la izquierda de (a) es L, si la función F(x) toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto (a) por su izquierda, denotándose:

$\displaystyle \lim_{x \to a^{-}}F(x)=L$

El límite de F(x) por la derecha de (a) es L, si la función F(x) toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto (a) por su derecha, denotándose:

$\displaystyle \lim_{x \to a^{+}}F(x)=L$

De manera general los limites laterales se denotaría como:

$\displaystyle \lim_{x \to a^{-}}F(x)=\displaystyle \lim_{x \to a^{+}}F(x)=\displaystyle \lim_{x \to a}F(x)$

Si los límites laterales no son iguales, entonces el límite no existe.

Para comprender mejor la definición de limites laterales vamos a ver el siguiente ejemplo:

$\displaystyle \lim_{x \to 2} X$

$\displaystyle \lim_{x \to 2} X=2$

calculemos el limite por la izquierda de 2

$\displaystyle \lim_{x \to 2^{-}} X$

Para evaluar consideramos un valor cercano a 2 por la izquierda como 1,999 y evaluamos;

$X=1,999\simeq2$

calculamos el límite por la derecha de 2;

$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}x$

Para evaluar consideramos un valor cercano a 2 por la derecha como 2,001 y evaluamos:

$X=1,999\simeq2$

En conclusión los limites laterales permite el estudio de la continuidad y discontinuidad.

Limites laterales (continuidad y discontinuidad)

Para saber la existencia de discontinuidad en una función F(x), el límite al ser evaluado debe ser infinito, al calcular los limites laterales permitirá definir el comportamiento a ambos lados de la asintota.

Por ejemplo, si el limite por la derecha como por la izquierda es +∞ la función presentaría el siguiente comportamiento:

LIMITE-INFINITO

La función presenta una asíntota en el punto (a) y su comportamiento es que crece a ambos lados de la misma hacia el infinito positivo.

Si por el contrario el limite por la izquierda es -∞ y por la derecha +∞ la función presenta el siguiente comportamiento:

LIMITE-LATERAL-

Si el límite de la función F(x) es igual a los limites laterales y su valor es un número real, se dice que la función es continua en dicho punto.

Ejercicios resueltos de límites laterales.

Calcular los límites laterales:

Ejercicio 1.-

$\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{x}{2x-6}$

Solución

evaluamos el límite

$=\frac{3}{2.3-6}$

$=\frac{3}{0}$

$=\infty$

Evaluamos por la izquierda de 3, consideramos un valor como por ejemplo 2,999;

$=\frac{3}{2.(2,999)-6}$

$=\frac{3}{5,999-6}$

donde $5,999-6= -0,001\simeq -0$ por tanto el resultado sería

$=-\infty$

Evaluamos por la izquierda de 3, consideramos un valor como por ejemplo 3,001;

$=\frac{3}{2.(3,001)-6}$

donde $6,002-6= 0,002\simeq +0$ por tanto el resultado sería

$=+\infty$

La función presenta una discontinuidad, si graficamos se visualiza su comportamiento de la siguiente manera;

LIMITE-LATERAL-EJEMPLO

Ejemplo 2.-

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x+4}{(x-2)}$

Solución

evaluamos;

$=\frac{0+4}{(0-2)}$

$=\frac{4}{(-2)}$

$=-2$

evaluamos por la izquierda con un valor próximo a cero como -0,001;

$=\frac{-0,001+4}{(-0,001-2)}$

$=\frac{3,999}{(-2,001)}$

$=-1,999\simeq -2$

evaluamos por la izquierda con un valor próximo a cero como 0,001;

$=\frac{0,001+4}{(0,001-2)}$

$=\frac{4,001}{(-1,999)}$

$=-2,00\simeq -2$

El limite de la función cuando X tiende a cero es -2 y los limites por la derecha como la izquierdas son iguales a -2 se dice que la función es continua en dicho punto. Viendo la gráfica sería el comportamiento;

LIMITE-LATERAL-EJEMPLO-2

Ejercicio 3.-

$F(x)\left\{\begin{matrix} 2x+1 & si x< 0 \\ x+1& si 0\leq x< 5 \\ \end{matrix}\right.$

Solución

tenemos una función conformada por dos funciones, si la vemos en una recta numérica por intervalo sería;

LIMITE-LATERAL-EJEMPLO4

2x+1 toma valores menores a cero y x+2 toma valores entre 0 y 5, para la primera función calculamos los limites laterales tomando en consideración los valores del intervalo;

$\displaystyle \lim_{x \to 0}(2x+1)$