Indeterminación cero por infinito (0.∞)

Desde que iniciamos el estudio de los limites indeterminados hemos creado una pagina para dedicarles un espacio a cada uno de los casos, en esta oportunidad ampliaremos conocimientos sobre la indeterminación cero por infinito (0.∞)

Indeterminación cero por infinito (0.∞)

La eliminación de este tipo de indeterminación consiste primero en transformarla en como indeterminación como \frac{\infty }{\infty } ó \frac{0}{0}, para ello aplicamos:

a.- Para transformarla a la indeterminación cero entre cero aplicamos;

    \[F(x).G(X)=\frac{F(x)}{\frac{1}{G(x)}}=\frac{0}{0}\]

b.- Para transformarla a infinito entre infinito aplicamos;

    \[F(x).G(X)=\frac{G(x)}{\frac{1}{F(x)}}=\frac{\infty}{\infty}\]

Otra forma de eliminar (0.∞) es convertir la función en otra función equivalente.

Ejercicios de limites indeterminados (0.∞)

Resolver los siguientes límites:

Ejercicio 1.-

    \[=\displaystyle \lim_{x \to 2}((x-2).\frac{1}{x^{2}+x-6})\]

Solución

evaluamos;

    \[=((2-2).\frac{1}{2^{2}+2-6})\]

    \[=0.\infty \]

trasformaremos la función a una equivalente;

    \[\displaystyle \lim_{x \to 2}(\frac{x-2}{x^{2}+x-6})\]

si evaluamos \frac{\infty }{\infty } procedemos según este caso;

    \[=\displaystyle \lim_{x \to 2}(\frac{\frac{x}{x^{2}}-\frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{x}{x^{2}}-\frac{6}{x^{2}}})\]

    \[=\displaystyle \lim_{x \to 2}(\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^{2}}})\]

evaluando el resultado es

    \[=\infty\]

Ejercicio 2.-

    \[\displaystyle \lim_{x \to \infty }e^{-x}.x\]

Solución

Si aplicamos la expresiones anteriores sería;

    \[F(x).G(X)=\frac{F(x)}{\frac{1}{G(x)}}=\frac{0}{0}\]

consideramos F(x) la función igual a cero y G(x) la función igual a infinito, procediendo a sustituir;

    \[=\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{e^{-x}}{\frac{1}{x}}\]

si evaluamos, quería la indeterminación \frac{0}{0} aplicando el procedimiento según el caso.

Si por el contrario aplicamos:

    \[F(x).G(X)=\frac{G(x)}{\frac{1}{F(x)}}=\frac{\infty}{\infty}\]

sería;

    \[=\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{x}{\frac{1}{e^{-x}}}\]

evaluando la indeterminación quedaría \frac{\infty}{\infty}

donde

    \[e^{-x}=\frac{1}{e^{x}}\]

    \[\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{x}{e^{x}}\]

Según sea el caso que apliques el resultado es:

    \[=0\]

 

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