La matemática surge con la historia humana, asociada principalmente al concepto y aplicación del número. Este crecimiento ha sido gradual al desarrollo de las comunidades humanas, pasando de primitivas a mas evolucionadas, haciendo que los problemas matemáticos se conviertan en mas complejos y difíciles de resolver, dando origen a diferentes áreas, entre la que se encuentra el cálculo diferencial, del cual conoceremos hoy de su historia.
El cálculo diferencial, una rama fundamental de las matemáticas, tuvo su origen en el siglo XVII y está marcado por los notables aportes de dos genios: Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. La historia de esta disciplina no solo es una narrativa sobre descubrimientos matemáticos, sino también sobre una intensa controversia que influyó en el desarrollo de las matemáticas y dejó una huella duradera.
Antecedentes históricos del cálculo diferencial.
Los Preludios al Cálculo Diferencial
Antes del cálculo diferencial, las matemáticas avanzaban con métodos algebraicos y geométricos, pero faltaba una herramienta para abordar problemas que involucraban tasas de cambio y variación continua. Fue en este contexto que surgieron las ideas que llevaron al desarrollo del cálculo.
John Wallis y la Suma Infinita
John Wallis, un matemático inglés, contribuyó significativamente al cálculo diferencial al introducir la idea de la suma infinita. Wallis desarrolló técnicas para sumar series infinitas, un concepto crucial para entender el comportamiento de funciones continuas.
Las bases del origen del calculo diferencial
El cálculo diferencial en un área relativamente nueva, debe su origen a la necesidad de resolver una serie de problemas matemáticos que se presentaron en la antigua Grecia, aproximadamente en el siglo III antes de Cristo.
Los Griegos a pesar de los vacíos o dudas en algunos procedimientos matemáticos mas complejos, dieron vida a la derivada, al plantear cuatro problemas fundamentales no resueltos como fueron:
- El calculo de la velocidad
- La recta tangente
- El área bajo una curva
- Los máximos y mínimos.
Entre los trabajos mas destacados de la cultura griega que evidencia los aportes en el proceso de origen de la derivada, se encuentran los de Zenón de Elea 450 a.C., de la escuela Eleática, quien el movimiento era imposible, considerando el espacio y el tiempo infinitamente divisibles.
Luego está la escuela de los atomistas, donde el movimiento correspondía a la interacción de los átomos y de alguna forma concibieron el movimiento como una relación del espacio y el tiempo. Así fueron construyendo algunas hipótesis y teorías, sin concretar muchas de ellas.
Aunque algunos autores como Pierre de Fermat, René Descartes, Christiam Huygens e Isaac Barrows ya habían dado con respuestas parciales a estos problemas, la búsqueda a estas respuestas de tantos años se aclaran en el siglo XVII con la definición del cálculo infinitesimal, por parte de Isaac Newton y Gottfried Leibniz, quienes paralelamente desarrollaron teorías similares y a día de son considerados como los padres del cálculo diferencial.
Y no es para menos puesto que las soluciones generales a 3 de estos 4 problemas se obtienen mediante el proceso de derivación y el restante mediante el uso de integrales, razón por la cual, el cálculo tuvo mucha aceptación al punto que al día de hoy es usado en la mayoría de las ramas de estudio.
Newton y Leibniz, usaron los infinitésimos y los infinitos, generando controversia, dado que intentaron dejarlos a un lado por las críticas de otros matemáticos que intentaron resolver y usar el calculo infinitesimal pero sin concretar resultado, como fueron los casos de Berkeley (1685-1753), Cauchy (1789-1957) y Dedekind (1831-1916).
Aporte de Newton y Leibniz en el calculo diferencial
Newton y el Nacimiento del Cálculo Diferencial
Isaac Newton, un científico inglés venerado por sus contribuciones a la física y las matemáticas, es considerado uno de los creadores independientes del cálculo diferencial. En la década de 1660, mientras trabajaba en problemas de movimiento y gravedad, Newton desarrolló métodos que sentaron las bases del cálculo.
Desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable varía con el tiempo.
Método de las Fluencias y las Fluxiones
Newton utilizó el método de las «fluencias» y «fluxiones» para describir el cambio continuo. En esencia, las fluxiones eran velocidades instantáneas, y Newton las usó para entender cómo las magnitudes cambian con el tiempo. Aunque sus ideas eran poderosas, sus escritos eran crípticos y no se publicaron de inmediato.
Leibniz y la Invención Independiente
Con respecto a Leibniz, por su parte, comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental, no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de cálculo diferencial y cálculo integral.
Notación Leibniziana
Leibniz introdujo la notación diferencial que aún usamos hoy, incluyendo el uso del símbolo \(\frac{dy}{dx}\) para representar la derivada de \(y\) con respecto a \(x\). Su notación y reglas facilitaron enormemente la expresión de conceptos matemáticos, convirtiendo al cálculo en una herramienta accesible.
La Controversia Newton-Leibniz
La controversia entre Newton y Leibniz surgió cuando ambos reclamaron la autoría de la invención del cálculo. La disputa se intensificó en la década de 1710, años después de la muerte de ambos.
La Royal Society y la Investigación
La Royal Society de Londres, la institución científica más prestigiosa de la época, respaldó inicialmente a Newton. Sin embargo, la disputa llevó a una comisión que examinó las pruebas y concluyó que ambos habían llegado de manera independiente a desarrollos similares. La controversia dejó marcas en las relaciones científicas de la época.
Conclusiones de Newton y Leibniz sobre calculo diferencial
Tanto los estudios de Newton como de Leibniz, a pesar de ser desarrollados en tiempos distintos concluyeron:
- Definieron los conceptos de derivada e integral.
- Establecieron las reglas de derivación.
- Definieron que la integral es la inversa de la derivada.